关于求解两个随机变量函数的分布的方法研究

郭晋芳

【摘要】求两个随机变量函数的分布在概率论的学习中是一个重点内容，也有若干种解法，学生们掌握起来也比较困难，本文给出不同情况的两个随机变量的各种求解方法，并给出应用举例.

【关键词】二维随机变量;分布函数;概率密度函数;分布律

一、引 言

在概率论与数理统计中，随机变量分为三类——离散型、连续型及奇异型，但我们一般只需要掌握前两类.两个随机变量X，Y的函数Z=g（X，Y）依然是随机变量，则求解这个随机变量的分布就是我们讨论的一个关键问题，下面给出各种不同情况下，求解两个随机变量函数的分布的各种方法.

二、两个随机变量都是离散型

已知二维离散型随机变量（X，Y）的联合分布律，求解其函数Z=g（X，Y）的分布，通过直接分析便可以得到所求.

例1 设二维随机变量（X，Y）的联合分布律如表1所示，求Z=2X-Y的分布律.

三、两个随机变量都是连续型

（一）分布函數法

设二维连续型随机变量（X，Y）的概率密度函数为f（x，y），已知Z=g（X，Y）是随机变量（X，Y）的函数，求随机变量Z的概率密度函数fZ（z）.

随机变量的概率密度函数和分布函数有如下关系fZ（z）=FZ′（z），所以可以先求随机变量Z的分布函数，求解过程如下：

FZ（z）=P{Z≤z}=P{g（X，Y）≤Z}

=P{X，Y}∈D：g（x，y）≤z

=g（x，y）≤zf（x，y）dxdy，

然后对分布函数求导得到概率密度函数fZ（z）=dFZ（z）dz.

（二）卷积公式法

设二维连续型随机变量（X，Y）的概率密度函数为f（x，y），已知Z=g（X，Y）是随机变量（X，Y）的函数，求随机变量Z的概率密度函数fZ（z）.

当函数z=g（x，y）关于变量y严格单调，容易解得其反函数y=h（x，z），则有

四、一个随机变量是离散型，一个是连续型

（一）全集分解法

设连续型随机变量X，取有限值的离散型随机变量Y，当X，Y相互独立，求Z=g（X，Y）的分布函数时，对离散型随机变量Y进行全集分解.

例3 设随机变量X，Y相互独立，X的概率密度函数为f（x）=e-x，x>0，0，else.

（二）结论法

设取有限值的离散型随机变量X，其分布律为P{X=xi}=pi（i=1，…，n），连续型随机变量Y，其概率密度函数为fY（y）当X，Y相互独立.当函数z=g（x，y）关于变量y严格单调，则其反函数存在y=h（x，z）有连续导数，则Z=g（X，Y）是连续型随机变量，其概率密度函数为

fZ（z）=∑ni=1pifY[h（x，z）]h（x，z）z，a

其中a是z=g（x，y）关于y的最小值，b是关于z=g（x，y）关于y的最大值.

例4 设随机变量X，Y相互独立，X的分布律为P{X=xi}=13（i=1，2，3）.Y的概率密度函数为fY（y）=1，0

解 因为z=xi+2y（i=1，2，3）是y的严格单调增函数，其反函数y=z-xi2，有导函数y′=12，由结论得

五、结束语

本文针对两个随机变量的函数的分布，分别对两个离散型随机变量，两个连续型随机变量及其一个离散型，一个连续型随机变量的三种情况，给出了不同的方法，方便大家掌握：不同情形，应该应用不同方法解决问题.

【参考文献】

[1]马军英.一类两个随机变量函数的分布[J].大学数学，2011（6）：157-160.

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[4]张宇.考研数学真题大全解[M].北京：北京理工大学出版社，2017.