常微分方程在数学建模中的应用之战争模型

高瑜 高艺 王伟

本文详细介绍了以微分方程为基础的正规战争、游击战争、混合战争等三种战争模型的建立，求解，得出三种战争的胜负与初始兵力的关系。

1 引言

微分方程作为数学学科的一个中心学科，经过三百余年的不断发展，不论在求解方法上还是在定性理论分析方面日臻完善，使得微分方程模型具有极大的普遍性、有效性与非常丰富的数学内涵。在高等數学教学中，常微分方程也在不断的被研究与探索，并且融入数学建模思想提高学生的学习兴趣，在现实世界中，能够通过建立微分方程模型研究的实际问题非常之多。如物理学中的振动现象、化学中物质间反应的酶促作用、生态学中单种群的增长模型、多种群间相互作用的数学模型、经济学中研究经济规律的动态模型、艾滋病防治的数学模型、传染病模型与战争模型。本文以战争模型为例做简要研究。

第一次世界大战Lanchester提出预测战役结局的模型，战争分为正规战争，游击战争，混合战争三种类型。为了便于分析，本文只考虑双方兵力多少和战斗力强弱，并假设兵力因战斗及非战斗减员而减少，因增援而增加，战斗力与射击次数及命中率有关。

2 模型分析

设一场战争中有甲乙两方部队。甲方的兵力为（初始兵力），增援率为，乙方兵力为（初始兵力），增援率为。假设每方战斗减员率取决于双方的兵力和战斗力，且每方非战斗减员率与本方兵力成正比。即有

（1）

其中取决于战争类型。下面具体分析三种：

2.3混合战争模型

假设甲方为游击部队，乙方为正规部队，则，（为乙方每个士兵的杀伤率），，（为射击率，为命中率），（为甲方活动面积，为乙方的射击有效面积），，假设没有增援，忽略非战斗减员，则

（5）

由方程（5）可得：，代入初值得：。此方程为抛物线，如下图：

若可得：当时，乙方胜利。同理时，甲方胜利，时平局。

3 小结

常微分方程在数学建模中有广泛应用，本文对战争模型作了简单研究，得到三种战争模型的特点，模型没有研究兵力的自身减员和自然因素，还可以做进一步研究。数学建模是为了解决生活中的实际问题，常微分方程的出现，让很多模型的到行之有效的解法，从而解决了很多问题，也使得数学研究从理论转向实践。

基金项目：陕西铁路工程职业技术学院教改基金（17GY021）， 陕西省教育厅科学研究项目（17JK0170）。

（作者单位：陕西铁路工程职业技术学院）