如何进行概念的数学化构建——以分数概念教学为例

裴云姣

数学概念的构建，是人们通过对生活中大量材料进行细致观察、思考，借助比较、分析、概括等思维过程，提炼抽取本质属性，保留数量或空间上的形式结构方面的信息的一个活动过程。所以，学生形成数学概念的过程，就是一个数学化主动构建的过程。概念数学化的过程中最为核心的思维过程是概括。

师:把纸片看作1,那么纸片的一半是？

师：你是怎么理解的?

生：（多数）对折一下。

师：对折就是平均分。同样的道理，把一个蛋糕平均分成两份，每份就是这个蛋糕的

生：再对折。

许多学生回答：2、4、5 图不是原图！

师：为什么？

生：这些不是平均分，因为不能对折！

在分数概念教学的过程中，教师一般都要从生活中抽象出分数概念，但也往往只局限于半个蛋糕、半块正方形纸片等几个简单的活动，从而难以充分建立起数学与现实生活的联系，难以构建起分数概念的本质认识。片断2 所产生的问题，正是教师没有引导学生对分数概念进行数学化构建而产生的后果。其实，片断1的教学环节，只是说明“对折”可以产生平均分，“对折”可以产生再“对折”可以产生“。但是“对折”的操作，并不能充分说明“平均分”的本质，因为“平均分”并不依赖于“对折”。因此，仅靠“对折”来构建分数的概念是错误的。

怎么办？教师在课堂中应充分展示产生思维活动的过程，比如说：没有平均分的折会怎样？平均分的对折又会有几种方式（如正方形纸片的左右对折、上下对折、对角线对折等）？除了简单的可对折的几何图片之外，还有哪些现实事物可以作为“平均分”的载体？

接着教师可以引导学生思考这样的情境：“把一根绳子平均分成3 段、5 段”；填涂图形等这样一些不能用“对折”解决的“平均分”问题。通过这样一些例子帮助学生进一步巩固“平均分”产生“分数”的本质。这样教学，学生就不会局限于“对折”产生“平均分”的思维定势中，从而对“分数”概念的内涵有了更深的体会和理解。

更深层次，教师还可以引导学生理解“不同质”事物整体的“平均分”问题。比如引用“4 只蝴蝶，1只白、1 只黄、1 只蓝、1 只黑，蓝蝴蝶占总数的几分之几”等问题的讲解，从而使学生能更深刻地认识和理解“平均分”。因为“平均分”的本质不是指使得同一种实物（纸片、蛋糕、绳子）的外观表象一致，而是指所有能够使得“作为一个整体”的事物的“部分”能够“地位等同”的一种方法和措施。

由上可知，在概念教学中，教师要通过对概念的形成过程做充分的展示，只有通过这样多层次的数学化建构过程，学生才能对概念的内涵、概念的本质有充分的认识。