对一道物理奥赛力学题解答错误的分析

李小杰

(四川省西华师范大学物理与空间科学学院 637009)

该中学物理奥赛培训题目长期被很多高中物理奥赛辅导资料所编入．为方便读者，先将原题及解答转录于下，再对其中存在的错误予以分析，最后提出原题的修改建议.

一、原题及原解答

例题3个半径同为R、质量同为m的匀质光滑小球放在光滑水平桌面上，用一根不可伸长的均匀橡皮筋把它们约束起来．如图1所示，将一个半径也为R，质量为3m的匀质光滑小球放在上述3个小球正上方，因橡皮筋约束，下面3个小球并未分离．试求：

(1)放置上面的小球后，橡皮筋张力的增量△T；

(2)将橡皮筋剪断后，上面的小球碰到桌面时的速度u．

解称上面的小球为球1，球心为O1，下面三个小球分别为球2、球3、球4，球心对应为O2、O3、O4．

(1)连结O1、O2、O3、O4，如图2所示，则有

对图2中的α角，易知有

设球1对下面每个小球的压力为N，则球2、3、4对球1的反作用力的合力为3mg(球1的质量为3m)，即有

3Ncosα=3mg.

球2、3、4各自所受的力N的水平分力为

如图3所示，橡皮筋张力T0的增量△T应正好用来平衡N′．很易导得2ΔTcos30°=N.

二、原解答的错误之分析

笔者认为，对(1)的解答中存在错误．试分析如下:

当用橡皮筋将下面三个球约束起来后，橡皮筋中便因微小拉伸形变产生了张力T0，与此同时，下面的三个球之间也相应地因微小压缩形变而产生了相互的压力N0，如图4所示．显然有T0=N0

放上球1后，由于此球对下面三球向外侧的挤压作用N′将使下面三球原来的微小压缩形变有所减小(可能完全恢复，也可能仅部分恢复)，从而导致下面三球之间的压力减小．与此同时，也将使橡皮筋原有的微小拉伸形变进一步增大，从而导致橡皮筋的张力增大．设下面三球之间的压力减小了ΔN0，橡皮筋的张力增大了ΔT，如图5所示．则下面任意一球在水平方向应满足的平衡条件为

2(T0+ΔT)cos30°=2(N0-ΔN0)cos30°+N′

将前面得到的T0=N0代入，即得

2ΔTcos30°=N′-ΔN0

将此式与原解答所得的2ΔTcos30°=N′相比较，便可得知原解答的错误在于疏忽了下面三球之间压力的减小ΔN0，误以为三球之间的压力始终不变.

由于ΔN0大小的不确定性，所以原题实际上是无法解答的.

三、原题之微改

为了使原题的基本构思立意不变但又可解，可将其改为：

3个半径同为R、质量相同的匀质光滑小球放在光滑水平桌面上，用一根不可伸长的均匀橡皮筋把它们约束起来，此时橡皮筋的张力为T0．然后，如图1所示，将一个半径也为R，质量是上述个小球质量3倍的匀质光滑小球放在上述3个小球正上方，从而使得下面3球之间的压力减小为零，因橡皮筋约束，下面3个小球并未分离．试求：

(1)放置上面的小球后，橡皮筋张力的增量△T；

(2)将橡皮筋剪断后，上面的小球碰到桌面时的速度u．