导数中的数列型不等式

胡贵平

(甘肃省白银市第一中学 730900)

导数是研究函数的利器,数列是离散的点构成的特殊的函数，数列型不等式问题,既需要解决不等式的基本思路和方法,又要结合数列本身的结构和特点,一般是通过导数来探究函数的单调性或最值，然后构造函数相对应的不等式，进而对x取值,得到数列型不等式，经过适当的放缩，实现问题的解决.

类型1lnx

(1)讨论函数f(x)的单调性；

类型2ln(x+1)≤x

例2 (2017全国卷3,21)已知函数f(x)=x-1-alnx.

(1)若f(x)≥0 ，求a的值；

解(1)f(x)的定义域为(0，+).则且f(1)=0.

由于f(1)=0，所以当且仅当a=1时，f(x)≥0,故a=1.

(2)由(1)知，当a=1时，f(x)=x-1-lnx≥0，即lnx≤x-1，则有ln(x+1)≤x，当且仅当x=0时等号成立.

所以m的最小值为3．

(1)求函数f(x)的单调区间；

(2)设m∈R，对任意的a∈(1,1)，总存在x0∈[1,e]，使得不等式ma-f(x0)<0成立，求实数m的取值范围；

解(1)f(x)的定义域为(0，+).则令f′(x)>0，得x>1，因此函数f(x)的单调递增区间是(1，+)．

令f′(x)<0，得0

(2)依题意，ma

(3)由(1)知函数f(x)在[1，+)上单调递增，故所以以x2替代x，得

由柯西不等式，(ln21+ln22+…+ln2n)(12+12+…+12)≥(ln1+ln2+…+lnn)2．

(1)用a表示出b,c；

(2)若f(x)≥lnx在[1,+)上恒成立，求a的取值范围；

解(1)易得到b=a-1，c=-2a+1.

将上述的n个不等式依次相加，

当00；当x>1时，f′(x)<0.所以f(x)在(0,1)上单调递增；在(1,+)上单调递减.所以函数f(x)在x=1处取得极大值.

故g(x)在[1,+)上也单调递增，所以[g(x)]min=g(1)=2,所以a≤2.

例6(2014陕西理)设函数f(x)=ln(1+x),g(x)=xf′(x),x≥0，其中f′(x)是f(x)的导函数.

(1)g1(x)=g(x),gn+1(x)=g(gn(x)),n∈N+，求gn(x)的表达式；

(2)若f(x)≥ag(x)恒成立，求实数a的取值范围；

(3)设n∈N+，比较g(1)+g(2)+…+g(n)与n-f(n)的大小，并加以证明.

下面用数学归纳法证明.

由①②可知，结论对n∈N+成立.

当a≤1时，φ′(x)≥0(仅当x=0,a=1时等号成立).

所以φ(x)在[0,+)上单调递增，又φ(0)=0，

所以φ(x)≥0在[0,+)上恒成立，

当a>1时，对x∈(0,a-1]有φ′(x)<0，所以φ(x)在(0,a-1]上单调递减，所以φ(a-1)<φ(0)=0.

综上可知，a的取值范围是(-,1].

……

上述各式相加可得

结论得证.

不等式的放缩

变形1 当x>-1时，有x≥ln(x+1)，当且仅当x=0时等号成立.

变形2 当x>0时，x-1≥lnx，当且仅当x=1时等号成立.

事实上，在x≥ln(x+1)中用x-1代x即可得.也是x>lnx，将直线y=x向右平移一个单位后与函数y=lnx的图象在点(1,0)处相切可得.

事实上，在x-1≥lnx中两边同乘以-1即可得.

变形5 当x>0时，xlnx≥x-1，当且仅当x=1时等号成立.