x-Gorenstein投射模与Frobenius扩张

何东林，李煜彦

-Gorenstein投射模与Frobenius扩张

*何东林，李煜彦

(陇南师范高等专科学校数信学院，甘肃，陇南 742500)

-Gorenstein投射模；Frobenius扩张；自然等价

1 主要结论

正合。考虑如下交换图

易知为满同态，从而序列 。因此潜在模是投射左-模。

下文中均表示Mod的某个固定的包含投射左-模类的类，即Mod。

5.1 提前预判，冻前预防 可以当年桃、樱桃的物候期作为参考，花期提前5天以上时，就要着手预防可能发生的霜冻。在陕西凤翔产区，红富士花期正常年份为4月10—15日，如果提前到4月5日，发生霜冻的概率就会大大增加。

引理2设∝是环的Frobenius扩张，。则有

Mod 。

证明 Mod显然成立。下面证明。对任意左-模，即是投射左-模。由于∝是环的Frobenius扩张，根据定义2知函子和是自然等价，可见。由文献[8]第二章第1节中定理3得，是投射左-模。从而是投射左-模，即。因为，所以，进而。因此。

绿化荒山、改善区域生态环境是兰州石化的“绿色约定”。经过几十年的努力，兰州石化将兰州市南山东起马耳山沟底、西到大元峁一带的2500亩荒山建成了省级森林公园。如今，这里春有花、夏有荫、秋有果、冬有青，成为市民休闲健身的理想场所。

定理1 设∝是环的Frobenius扩张，是左-模。如果是-Gorenstein投射左-模，那么潜在模是-Gorenstein投射左-模。

证明 设是-Gorenstein投射左-模，则存在左-模正合列

其中是投射左-模，且对任意都有在函子下仍正合。由引理1知也是投射左-模。考虑正合列

显然。又因为对任意，有。考虑如下交换图

注意到在函子下正合，即上图中第一行正合。从而交换图中第三行也正合，即在函子下仍正合。根据定义1可得潜在模是-Gorenstein投射左-模。

由文献[6]中命题3.14可得如下结论。

引理3 设为环，是左-模且具有有限-Gorenstein投射维数，其中为Mod的一个包含投射左-模类的类。则以下条件等价；

(1)-；

(2)对任意和任意投射左-模，都有。

特殊地，当时可得如下推论。

推论1 设为环，是左-模且具有有限-Gorenstein投射维数，其中为Mod的一个包含投射左-模类的类。则以下条件等价：

(1)-，即是-Gorenstein投射模；

(2)对任意和任意投射左-模，都有。

有了前面这些准备，下面给出本文的主要结论。

表1为所选变量的描述性统计表。可以发现，城镇居民的年收入对数要高于农村地区，同时，城镇居民的平均受教育年限要明显大于农村地区。其中，城镇居民平均受教育年限为13.15年，说明大多数城镇居民完成了高中或者职高教育；而农村居民平均受教育年限为8.69年，说明多数农村居民仅完成了初中教育。从工作经验的分布看，城镇居民的平均工作经验要低于农村居民，说明农村居民可能更早地放弃了学业，进入到劳动力市场。此外，还可以发现，城镇地区的样本更多地从事非农业行业。从性别比例、婚姻状况以及健康状况来看，城乡居民中男性、已婚以及健康状况良好的劳动者比例更大。

定理2设∝是环的Frobenius扩张且。则对任意左-模，以下条件等价：(1)是-Gorenstein投射左-模；(2)潜在模是-Gorenstein投射左-模。

证明 由定理1易证。

设是任意左-模。由及推论1知，要证是-Gorenstein 投射左-模，只需证对任意和任意投射左-模，都有。

她的否认看上去并不积极，我告诉她：“我本来没有想到要来你们家，你知道吗？我又搬家了，我在帮着母亲整理厨房，帮着父亲整理书房，他们两个人把我使唤来使唤去的，让我厌烦极了，我是从家里逃出来的，本来我想去看看沈天祥的，可是前天我们还在一起，王飞和陈力庆我也经常见到他们，就是你们，我有很久没见了，所以我就到你们家来了，没想到林孟不在，我忘了他今天应该在工厂上班……”