也谈正四面体的前世今生
2019-09-12胡传兴
胡传兴
摘 要:在立体几何中虽然多面体的家族很庞大。可是正多面体的成员却很少,仅有五个。正多面体是立体几何中比较特殊,而且内涵较丰富的几何体,而正四面体是其中最简单的正多面体,并且它与另外一个特殊的几何体——正方体有着千丝万缕的联系,因此在各种考试中它深受命题老师的青睐。要想在碰到四面体时能犹如庖丁解牛一般地游刃有余,教师有必要且必须弄清楚它的来龙去脉,也就是它的前世今生是什么。
关键词:高中数学;关系问题;正四面体
图1:如图取正方体的四个顶点M,B,D,S并连接MB,MS,MD,SD,SB,DB。因为四面体M-BDS的各棱均为正方体的面对角线,因此各棱长均相等,所以四面體M-BDS为正四面体。由此可知正四面体的前世就是正方体的一部分,那么正四面体的各种性质都可以放在正方体这个平台来考虑,并且当我们碰到正四面体时首要考虑的是它的由来,因为这是它的本源。例如正四面体M-BDS的外接球的问题,由图1可知,正四面体的外接球与正方体ABCD-SEMN的外接球是同一个球,所以当涉及正四面体的外接球时就可以用正方体的外接球。下面我们看看利用正四面体的前世今生是如何化繁为简的吧。
一、正四面体与球及正方体的关系问题
BCD的6条棱相切的球即为正方体的内切球。
二、涉及正四面体的线面关系问题
例3.已知正四面体A1-BDC1,其外接球为球O,一平面α过棱A1B截球O的截面面积为S截,请问当S截取最小值时,A1C1与平面α所成角为多少?
解:由球的性质可知,任意平面截球所得的截面图形为圆。所以平面α过棱A1B截球的截面为圆,且A1B为圆的一条弦。
∵A1B是截面圆的一条弦。
∴如图4当截面是以A1B为直径的圆时,此时圆的半径最小,截面面积最小,此时平面α即为正方形ABB1A1所在的平面。
∵直线C1B1⊥平面ABB1,
∠CA1B1即为直线A1C1和平面ABB1A1所成的角。
又∵∠CA1B1=45°
∴A1C1与平面α所成角为45°
三、实际生活中的正四面体
由于正四面体的特殊性,命题老师也会经常改头换面以其他形式来考查正四面体。
总之,当我们弄清了正四面体的前世今生以后,无论试题中正四面体以怎样的形式出现,无论考查正四面体的何种几何性质,我们都能简单清晰地看出问题的真相所在,都能找到简单而高效的方法。
参考文献:
[1]甘志国.补形法,正四面体的最佳解法[J].数学教学通讯,2011(8):39.
[2]段春华.数学题集锦:1.正四面体的一个有趣性质的证明[J].中学数学教学,1992(5):44.
编辑 谢尾合