关注问题类型，探索解题模型
2019-09-12李思瑗
李思瑗
[摘 要] 作为几何中最为基本的图形，平行四边形具有众多的公式定理和问题类型，学生在解析时存在一定的难度——难以准确地选用对应的公式定理，因此对问题进行归纳，提炼解题模型十分必要. 文章从平行四边形的基本问题入手，逐步深入探析，总结解题模型，以期对读者有所帮助.
[关键词] 平行四边形;模型;比值;三角函数
平行四边形是初中数学中最为重要的几何图形之一，掌握图形的性质，并对其加以证明是教学大纲对学生的基本要求. 虽然平行四边形的性质、定理较为丰富，但学生单独理解其中的某一内容还是比较容易的. 其难点在于解决将众多的知识点进行融合而构建的相对复杂的综合题. 考虑到学生的综合应用能力较弱，有时难以直切主题、高效破解，所以此时十分有必要引进平行四边形的解题模型，使用模型揭露问题本质，引导学生完成问题的分析与求解[1]. 而要引进解题模型，就需深入了解平行四边形的问题类型.
两组对边分别平行的四边形为平行四边形，这是平行四边形的定义，由此可以衍生出平行四边形的对边相等、对角相等、对角线互相平分等基本性质. 由平行四边形的性质和定理构建的基本问题类型，包括判定某个四边形为平行四边形，证明线段相等、两线平行，求线段的长或图形的面积等. 下面结合问题实例加以探析.
1. 探索一：特殊关系模型
平行四边形有对边相等、对角线互相平分的性质，由上述性质可以获得平行四边形内的几组相等线段，但实际解题时，试题考查的两条线段一般不存在上述关联性，所以需要学生基于对平行四边形的理解，结合相关几何知识来构建长度关系. 此时可以考虑从平行四边形的内角入手，构建特殊的三角形，利用特殊关系来求证.
例1如图1，在平行四边形ABCD中，AF平分∠BAD，与线段DC的延长线交于点F，求证：DA=DF.
解析本题除了平行四边形的性质外，另一个重要的条件为“AF平分∠BAD”. 根据角平分线的性质，可得∠BAF=∠DAF，而平行四边形的两组对边分别平行，所以有AB∥DF. 利用直线平行的性质定理，可得∠BAF=∠F，进而可得∠DAF=∠F. 所以△DAF是等腰三角形. 由“等角对等边”，可证得DA=DF.
模型提炼求证线段等长问题，可以考虑采用“角平分线+平行线→等腰三角形”这一模型，即利用问题中的角平分线，结合平行四边形的对边平行性质，构建等腰三角形，随后利用等腰三角形的性质来构建两条线段的长度关系. 此外，也可以逆用该模型，由等腰三角形来逆推角平分线.
2. 探索二：等面积模型
在以平行四边形为背景的几何题中，除了常见的证明题外，还有求线段的长、图形的面积等问题，即计算类问题. 要解决此类问题，还需要利用三角形的面积公式、周长公式等. 如果所求三角形的形状较为特殊，则可以直接根据公式来探索线段长，而对于形状较为抽象的一般几何图形，则可以考虑使用“等面积”模型[2].
例2如图2，BD⊥AC，AF=FC，点E为四边形ABCD外一点，且∠ADE=∠BAD，AE⊥AC.
（1）试证明四边形ABDE为平行四边形;
（2）若DA是∠BDE的平分线，设AB=5，AD=6，求AC的长.
解析（1）要证明四边形ABDE为平行四边形，只需依据平行四边形的判定定理来探索条件. 因为AE和BD均垂直于线段AC，所以AE∥BD. 由∠ADE=∠BAD，可得AB∥ED. 故四边形ABDE为平行四边形.
（2）根据“角平分线+平行线”的模型，可证平行四边形ABDE为菱形，具体过程如下：因为DA是∠BDE的平分线，所以∠BDA=∠ADE. 结合∠ADE=∠BAD，可得∠BAD=∠BDA. 再由“等角对等边”，可得AB=BD. 根据定理“有一组邻边相等的平行四邊形为菱形”，可得四边形ABDE为菱形. 接着连接BE，可得BE⊥AD. 对于菱形ABDE的面积，有两种求法，即S=AD·BE，S=BD·AF，根据等面积法，可得AD·BE=BD·AF，于是可求得AF=，AC=2AF=.
模型解读在几何图形中求解线段长，可以利用“等面积”模型，即从不同的角度构建同一图形的面积，根据面积相等构建相关线段长的数量关系，从而达到求解的目的[3]. 另外，也可以利用等面积模型对问题进行转化，即根据图形的面积相等，将所求图形的面积转接到另一图形上，在构建时需要严格按照图形的面积公式，对相关线段的长加以分析.
深度剖析
近几年的中考试题越发注重对知识进行综合考查，同时出现了众多以平行四边形为背景，结合知识联系点所命制的综合类考题，如与三角函数、代数比值相结合构建的几何题. 该类问题一般具有很强的拓展性，可以从不同的角度构建解题思路，也可以直接利用解题模型来加以探究，下面对其深入剖析.
1. 问题一：已知比值，求线段
几何中的比值实际上就是线段长的数量关系，求解时可以利用方程模型，即基于方程思想，设出相关线段的长或设定关于线段长的参数，然后基于几何关系构建方程，通过解方程的方式来求解.
例3如图3，在△ABC中，∠ACB=90°，CD为边AB的中线，过点D作DE⊥BC于点E，过点C作CF∥AB交DE的延长线于点F，连接BF，AE.
（1）试证明四边形BDCF为菱形;
（2）若S=24，=，试求CF的长.
解析（1）按照先证四边形BDCF为平行四边形，再证其为菱形的思路进行证明即可.
（2）题干给出了两个关键条件：一是四边形BDCF的面积，二是EC与AC线段长的比值. 考虑到利用几何的面积公式可以将几何面积转化为几何线段长的乘积，因此给出四边形BDCF的面积，实际上就是给出了几何线段的关系. 由=，可设EC=2a，则AC=DF=3a. 四边形BDCF的面积可以表示为S=BC·DF，其中BC=2EC=4a，进而可得·4a·3a=24，又a>0，所以a=2. 所以EC=4，EF=3. 根据勾股定理，可得CF=5.
模型解读在比值类问题中构建代数方程是求解该类问题的重要思路之一，其中的方程模型是基于几何关系所构建的，常见的构建策略包括利用几何面积、勾股定理、三角函数值等. 具体的构建步骤为：设未知数或参数→析关系→构方程→解未知.
2. 问题二：融合三角函数
三角函数是初中数学中较为特殊的一类函数，在初中阶段研究三角函数，一般将其放置在直角三角形中，构建相关线段长的比值关系. 中考试题中融合三角函数的方式主要有两种：一是直接给出三角函数值，用以分析几何关系;二是根据已知条件来分析三角函数. 无论是求解哪类试题，都可以利用解直角三角形模型来分析、破解.
例4如图4，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，BD=8，∠ABD的正切值为，试求线段AB的长.
解析四边形ABCD为菱形，根据其性质可得对角线AC⊥BD，AO=CO，OB=OD，因此△AOB是以∠AOB为直角的三角形. 在该三角形中，tan∠ABD=，又BO=BD=4，所以=. 所以AO=3. 由勾股定理，可得AB==5.
模型解读直角三角形是一种特殊的三角形，在直角三角形中可以利用勾股定理构建三边长的关系，也可以结合三角函数值构建边长的比值关系，因此利用直角三角形的解题模型可以巧妙地求解相关几何问题.
解后思考
上述对平行四边形的相关问题进行了探究，并总结了对应的解题模型. 实际上，解题模型是基于对问题的深度探究，是对解题思路和方法的高度概括，对加深问题理解和提升解题效率有一定的帮助.
平行四边形的问题类型较多，但总体而言可以归纳为几何证明、线段求值、综合拓展等几大类. 因此，在充分理解命题思路、剖析问题本质的基础上，可以构建相应的解题模型. 利用解题模型来分析问题，可以有效地避开问题“陷阱”，直切问题根本[4]. 而在教学中，则需要教师引导学生关注解题模型的构建过程，调动学生的思维，运用相应的公式、定理完成模型的构建，引导学生善于提炼问题的条件、结论，并合理利用模型对其加以表征. 在构建的过程中，需要注意不能过于模型化，不能采用机械的知识灌输方式，而应采用科学的探究策略，从问题的特征入手，剖析问题的本质内涵，提炼其中的关键信息，探索有效的构建策略，最后归纳解题思路，完成解题模型的构建.
在初中数学教学中，学生的思维发展应是教师关注的重点，整个课堂教学应以学生为主体. 无论是问题分析，还是模型构建，都应注重学生的思维体验. 教学中，可以采用问题引导的方式，通过合理的设问，引导学生不断地递进思考，逐步帮助学生构建完整的模型探究思维链. 同时，在模型构建的过程中，注意合理渗透数学的思维方法，让学生在构建模型中明晰所采用的思想依据，强化学生的数学思想，以问题探索为依托，促进学生综合素养的提升.
参考文献：
[1]倪春花. 从人教版“18.1.1 平行四边形”再践“自学·议论·引导”之旅[J]. 数学教学通讯，2017（35）：11-13.
[2]林秋萍. 基于案例的“数学模型演绎”教学与反思[J]. 中学数学，2018（22）：37-38.
[3]冯玉娟. 在数学教学中初步建構数学模型的尝试[J]. 中学数学教学参考，2018（z3）：49-50.
[4]陈光祥. “基本模型”专题复习的示例和思考[J]. 中学数学教学参考，2018（32）：31-33.
