逆向思维在初中数学教学中的应用探究

邱清寿

摘  要：逆向思维的培养目的在于让学生思维能够朝着一般思维的反向发展，从问题的相反面思考和探索结论。不管是我们教师还是学生都习惯沿着事物的正方向思考问题和解决问题。但是对于一些特殊的数学问题，往往从反向思考更容易解决，由结论往回推，倒过来思考，从求解回到已知条件，反过去想或许会使问题简单化。可以说逆向思维是一种解决数学难题的有效思维模式，能够帮助学生消除很多数学难题。作为数学教学者，我们应当培养学生逆向思维，指导学生有效运用逆向思维解决数学问题。本文笔者就重点探索逆向思维在初中数学教学中的应用。

关键词：初中数学;逆向思维;教学应用

【中图分类号】G 633.6    【文獻标识码】A       【文章编号】1005-8877（2019）29-0087-02

初中生已经有了自己的一个主观思维，对事物也有一个基础的感知和认知，在解决问题的时候容易走入“黑洞”，形成思维定势，这种僵硬化、固定化的思维极不利于提高学生的综合能力。因此，作为新时代数学教学者，我们一定要从培养学生的思维能力出发，落实以人为本的教育，重点以培养学生的逆向思维为突破口，打破学生的思维定势，培养学生思维的灵活性、发散性，从而为培养学生创造性思维奠定基础，为提高学生的数学综合能力奠定基础。

1.逆向思维在初中数学教学中的价值分析

（1）有利于提高学生的学习思维

逆向思维其实是学生学习数学的一种重要思维方式，培养学生逆向思维也是数学教学任务之一。多数中学生由于受客观规律的影响，在解决大部分数学问题时习惯性运用正向思维，久而久之形成一种思维定势，如果不能打破这种思维定势，学生的思维极容易被“僵化”，当遇到一个新概念、新方法或解决一个新问题时，也很难想到甚至彻底掩盖了它的另一方面。同时，运用正向思维解题，往往思路比较繁琐，计算过程更为复杂，解题所需时间也更长，不如逆向思维顺当。鉴于此逆向思维和正向思维的不同价值，我们认为逆向思维是有帮助学生巧解难题，引导学生思维发散的价值的。

（2）有利于提高学生解题效率

数学教学中有很多思维和方法，这些思维都可以帮助学生巧妙的化解难题，逆向思维正是如此。逆向思维就是要求学生从反面审视问题，从传统的常规解题思路中走出来，学会从侧面或者多个角度去分析一个问题，从而找到解题的新思路，新的突破口，很多数学难题，利用逆向思维来解决的话，效率会更高，不仅节省解题时间，而且正确率也高。因此，逆向思维也有助于提高学生解题效率。

2.逆向思维在初中数学教学中的应用

（1）逆向思维在定义公式和定理教学中的应用

概念具有内涵与外延两个要素，两要素成反比关系，内涵丰富的时候外延就小，反之外延则广。通常我们在教学数学概念问题时，需要从概念的内涵和外延两个维度进行解析，让学生通过逆向思维体会概念知识存的充分条件和必要条件。与概念相比，学生应用公式的机会更多，大多数问题都需要依靠公式解题，所以，逆向思维在公式中的运用价值更广。

例如，我们熟记于心的平方差公式：a-b=（a+b）（a-b），如果采用语言描述引导学记忆公式，学生不仅记忆困难，同时也不牢固，记住了也容易忘记。但如果让学生反向推导公式，利用基本运算对（a+b）（a-b）进行去括号得a-ab+ab-b=a-b。自己尝试着从源头探寻公式的来历，学生不仅容易记住公式，同时也掌握了公式的本质和原理，运用时也会更加得心应手。通过逆向推导，让学生对公式有了双向理解，运用公式的时候才不会单凭记忆来完成。当然，逆向思维在学习复杂公式时尤其适用，如a-b等于（a-b）（a-ab+b）还是等于（a-b）（a+ab+b），学生记忆不准完全可以临时进行计算，看哪个式子能得出a-b，然后便可以顺利进行解题了。

（2）逆向思维在数学解题过程中的应用

逆向思维不仅在学习数学概念、定理公式中有非常重要的价值，在解决复杂问题中也有非常突出的作用。尤其是学生掌握了基本定理和公式之后，如果还能够运用逆向思维，那么很多复杂的问题就容易突破了。比如，我们经常谈及的倒推法与反证法就是逆向思维的重要体现。

例题：a为何值时，方程  x/（x-3 ）= 2+ a/（x-3）会产生增根？

初步审题后，多数学生第一反应通过运算得出结果。如此解题，不仅运算复杂，同时也非常容易出错。如果我们能够巧妙的反向思考问题，运用逆向思维解题的话，很多看似复杂的问题就容易被简单化，计算量也会明显降低。如，

解题思路：方程两边同时乘以（x-3），得x=2（x-3）+a   ①

因为x=3是原方程的增根，但却是方程①的根，所以将x=3代入①得：3=2×（3-3）+a，由此可以解出a=3时，原方程会产生增根。

这种倒推法也是逆向思维运用的关键，我们教师在日常教学中可以多启发学生运用这种思维来解题，不仅可以打开学生思维，提高学生思维灵活性，同时也可以帮助学生提高解题效率。

（3）逆向思维在解决几何证明问题中的应用

逆向思维能够帮助学生快速地找到问题的突破口，寻找解决问题的最佳方法，让比较复杂的结题过程变得简单明了，最突出的表现在于解决几何证明题。也正是因为此，笔者建议我们在几何证明题教学中尽可能引导学生多从反面的角度思考问题，或者从问题本身探寻题干本身，善于从多个角度解析问题，避免思维局限和僵硬。如下例题，我们在教学实践中完全可以引导学生反向思考，既培养学生逆向思维，也是逆向思维的运用过程。

（此处省略图），已知AB是⊙O的直径，点P为BA的延长线上一点，PC为⊙O的切线，C为切点，垂足为D，交⊙O于E ，连结AC，BC，EC求证：△BDC∽△ABC。

此题运用逆向思维解题我们应该从证明问题出发，反写分析过程。

证明：∵AB是⊙O的直径      ∴∠BAC=90°

∵ PD⊥PC垂足为D     ∴∠BDC=90°

∵PC为⊙O的切线，C为切点  ∴∠BCD=∠BAC

已知在△BDC和△ABC中：∠BDC=∠BCA，∠BCD=∠BAC

∴△BDC∽△ABC

平面几何本身是初中学生学习的一大难点，多数学生学起来非常吃力。但是如果运用逆向思维，从所证出发，根据需要作出恰当辅助线，找到入手点，步步逆推，容易把欲证逐步推向已知结论。比如，上述解题过程，不仅思路非常清晰，同时解题过程表述也非常清晰直观，学生容易分析问题，更容易解决问题。

综上所述，逆向思维也是一种数学思想，其有助于激发学生对数学学习的兴趣，帮助学生掌握数学基础知识，并且提高学生数学思维，在解决数学问题中也有不可替代的作用。作为新时期初中数学教学者，指导学生正确运用逆向思维解决数学问题是我们的责任。我们应当明晰逆向思维在初中数学教学中的价值，并且不断渗透逆向思维，让逆向思维成为破解数学难题的利器，让逆向思维成为学生创新思维形成的基石。

参考文献

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[3]李士方.初中数学教学中学生逆向思维能力的培养[J].数学学习与研究，2019（08）

[4]杨洁.新课标下初中数学教学逆向思维的开发与探索探析[J].文理导航（中旬），2019（05）