例谈历史故事、成语中的数学思想方法

陈生茹 许柱

摘要：作为中华民族优秀传统文化的一部分，经典的历史故事和成语生动而凝练，不仅蕴含着丰富的人文趣味和精神，而且蕴含着深刻的哲学思想和道理。“从三到万”的故事体现了数学中的归纳法，“围魏救赵”的故事体现了数学中的间接法，“道旁苦李”的故事体现了数学中的反证法，成语“闹中取静”体现了数学中的“变中不变”思想。

关键词：历史故事成语数学思想方法

“大道至简。”自然和社会中很多领域的思想和道理都是相通的。作为中华民族优秀传统文化的一部分，经典的历史故事和成语生动而凝练，不仅蕴含着丰富的人文趣味和精神，而且蕴含着深刻的哲学思想和道理。在数学教学中，选取一些经典的历史故事、成语，来说明相应的数学思想和道理，不仅能激发学生的兴趣，展现中国传统文化的魅力，实现情感态度与价值观维度的目标;而且能让学生受到启发，领悟数学思想方法的运用，实现过程与方法维度的目标。下面试举数例，说明经典的历史故事、成语中蕴含的数学思想方法，供同行参考。

一、“从三到万”与归纳法

明代刘元卿的《贤奕编·应谐录》中有这样一则故事：

汝水边上有一个土财主，家产很丰裕，但几代人都不识字。有一年，他聘请了一位先生教他的儿子读书。这位先生开始教他的儿子握笔描红，写一横说：“这是一字。”写二横说：“这是二字。”写三横说：“这是三字。”财主的儿子高兴了，便对父亲说：“我已经学会读书写字，不必再请先生了。”财主听了很高兴，便把先生辞退了。

过了几天，财主要请一位姓万的亲戚来吃饭，便叫儿子写一张请帖，但是儿子写了好久还没有写好。财主去催促，儿子抱怨说：“世上姓氏很多，为什么偏偏要姓‘万’呢？我从清早写起，直到现在，才写了五百多横！”

读了这个故事，人们会觉得十分可笑。其实，这个孩子的想法并非毫无道理。相反，这个孩子从一是一横、二是二横、三是三横中，发现“几就是几横”的规律，认为（猜想）四是四横、五是五横……万是万横，正体现了人们在日常生活中经常使用的（不完全）归纳法。像这样从个别事实推演出一般性结论的推理通常称为归纳推理。例如，人们在日常生活中经常会在列举一些具体现象后，说道：“这（列举的现象）说明……”这其实就运用了归纳推理。

归纳推理是逻辑推理的重要形式，而逻辑推理是数学核心素养的重要方面。虽然运用归纳推理得出的结论不一定正确，但是，运用归纳推理有助于发现结论。数学教学中有很多这样的例子，特别是对一些复杂的一般性问题，需要从特殊的情况入手，归纳发现一般性结论。

例1将一根绳子对折1次，从中间剪开有多少根？将一根绳子对折2次，从中间剪开有多少根？将一根绳子对折3次，从中间剪开有多少根？……将一根绳子对折n次，从中间剪开有多少根？

解决此题，需要基于归纳的猜想作为引导。当然，因为运用归纳推理得出的结论还需要运用演绎推理加以证明。

二、“围魏救赵”与间接法

“围魏救赵”是一则经典军事故事：

公元前354年，魏国进攻赵国，魏国将军庞涓指挥大军包围了赵国都城邯郸。赵国向齐国求援，齐国命田忌为将军，孙膑为军师，率军八万前往救援。

田忌本来打算带领军队直接去赵国与魏军作战。而孙膑认为，魏国的精兵都在攻打赵国，国内空虚，主张采取避实击虚的灵活战术，向魏国都城大梁（今河南开封）进军，造成兵临城下、大军压境之势。田忌采纳了孙膑的计谋，率军进攻魏国。

庞涓得知消息，非常着急，丢掉粮草辎重，急忙从赵国撤军回魏国。而孙膑预先在魏军回国的必经之地桂陵（今河南长垣西北）设下埋伏。当庞涓率领长途跋涉、疲惫不堪的魏军经过时，齐军突然出击，大败魏军。

这个故事中的做法很好地体现了解决问题（实现目标）的间接法，属于逆向思维、反常思维（不是打退敌军，而是让敌军自己撤退）。后世还有一则经典的生活故事“司马光砸缸”，也很好地体现了这样的思维方式（不是让人离开水，而是让水离开人）。

间接法是转化思想的重要体现，而转化思想是非常重要（甚至可以说是最为重要）的数学思想。采用间接法可以快速、准确地解决一些数学问题。

例2已知三角形的三邊分别为5、10、13，求三角形的面积。

直接求三角形的面积，初中生可以使用求三角形面积的海伦公式，高中生可以使用余弦定理、同角三角函数关系和三角形面积的正弦公式，但是已知的三边都是无理数，运算过程会比较繁琐。

我们可以采用间接法：构造如图1所示的方格，先算出整个大正方形的面积3×3=9，再算出外围3个直角三角形的面积和（1×2+1×3+2×3）÷2=5.5，便可以得出要求的三角形的面积：9-5.5=3.5。

例3如图2，已知AB为⊙O的直径，CO为⊙O的半径，AB⊥CO，点D在⊙O上，延长CD，与AB的延长线交于点E，点F在BE上，且FD=FE。求证：FD是⊙O的切线。

要证明FD是⊙O的切线，需利用切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径。连结OD，直接证明∠ODF=90°较为困难。

我们可以利用间接法：先证明∠FDE+∠ODC=90°。因为AB⊥CO，所以∠E+∠C=90°。因为FD=FE，OC=OD，所以∠FDE=∠E，∠ODC=∠C，所以∠FDE+∠ODC=90°。

三、“道旁苦李”与反证法

《世说新语》中有这样一则故事：

王戎七岁的时候，有一次和几个小朋友出去玩，看到了路边的李树上结满了李子，多得把树枝都快压断了。小朋友们争相跑去采摘，只有王戎不动。有人问他为什么。王戎说：“这个李树长在路边，假如李子不苦的话，早被路人摘光了;而现在树上结满了李子，所以李子一定是苦的。”小朋友们摘下李子一尝，果然如此。

这个故事中，王戎采用了反证法，从反面论述了为什么道旁的李子是苦的。反证法的证明过程可以概括为“否定→推理→否定”，即从否定结论开始，经过正确的推理，导致逻辑矛盾，从而达到新的否定（即肯定原结论）的过程。这个过程包括三个步骤：（1）反设——做出与要证结论相反的假设;（2）归谬——将反设作为条件，通过一系列正确的推理，得出矛盾的结果;（3）存真——由矛盾的结果，说明反设不成立，从而证明要证的结论成立。

反证法是一种常用的间接证明方法，体现了“正難则反”的思想，在数学证明中有着十分广泛的应用。

例4求证：两条直线相交只有一个交点。

本题是反证法运用的经典案例。正面证明非常困难，于是，假设两条直线相交有两个交点，那么，这两条直线都经过相同的两个点，这与“经过两点有且只有一条直线”的公理相矛盾，所以假设不成立，因此，两条直线相交只有一个交点。

例5李老师把2个红球和1个黄球分别装进3个相同的纸盒里（每盒装1个），然后将装有红球的两个纸盒分别给小明、小丽，要求他们打开各自的纸盒后，判断对方纸盒里的球是什么颜色的。小明和小丽打开纸盒后，没有立即做出判断;稍加思考后，便异口同声地说出对方纸盒里的球是红色的。

请用简短的语言表达小明、小丽的思考过程。

本题正面说明比较困难，于是反面思考，即运用反证法。若小明拿到的是黄球，他一定能够迅速说出对方手中的是红球;若小明拿到的是红球，他则不能判断对方手中的是红球还是黄球。小丽也是同样的情况。因此，小明和小丽打开纸盒后，没有立即做出判断，是因为他们拿到的都是红球;他们稍加思考后，便异口同声地说出对方纸盒里的球是红色的，是因为他们看到了对方犹豫，利用反证法做出了推理。

四、“闹中取静”与变中不变思想

成语“闹中取静”出自明代冯梦龙的《喻世明言》，指在热闹的环境中保持清静。它很好地体现了数学中广泛存在的“变中不变”思想——可以说，数学研究的就是数量和图形关系在变化（表象、事例）中的不变性（本质、规律）。探索变量、动点等变化、运动过程中不变的元素和关系，是中考数学考试的热点题型之一。

例6如图3，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3 cm，BC=4 cm，动点P从点A出发，以1 cm/s的速度沿AB运动;同时，动点Q从点B出发，以2 cm/s的速度沿BC运动。当点Q到达点C时，P、Q两点同时停止运动。

（1）试写出△PBQ的面积S与动点运动时间t之间的函数表达式;

（2）动点运动时间t为何值时，△PBQ的面积S最大？最大值为多少？

解决此类问题最基本的思路就是“变中不变”“以不变应万变”。解决本题时，要抓住时间t的变化引起点P、Q的位置的变化，引起△PBQ边长PB、BQ的变化（PB=3-t，BQ=2t），引起△PBQ面积S的变化（S=PB·BQ=-2t2+6t）。

参考文献：

[1] 章建跃.数学教育随想录[M].杭州：浙江教育出版社，2017.