运用函数与方程思想解决实际问题的研究

孙宽程

摘   要：函数的思想是以全局的视角来衡量的，方程的思想则不同，它是通过设未知数，再运用题中所给已知条件，构造出方程或者方程组，从而求解出未知数。对于很多问题，要将两者结合运用去解决。在未来的学习生活中，学生应该有意地培养自己运用函数与方程思想解题的能力。函數与方程的思想可以应用于解决各种题型。

关键词：函数;方程;思想;性质;转化;构造

与函数和方程思想相关的知识点、题型与应用技巧都比较多，主要体现在解决实际问题方面，在很多领域都有着非常广泛的应用。函数的思想可以使事物变化的规律得以有效地揭示，间接地反映出事物与事物之间的联系，而方程的思想则可以使函数的思想得到更加具体的表达，这是一种辩证统一的关系。本文将简单介绍一下方程与函数，重点举例证明运用函数与方程的思想解决学生在学习生活中涉及的各个领域的实例，并重点介绍如：不等式、三角函数、解析几何、二次项定理中的实际问题。希望能够结合这些途径培养自己运用函数与方程思想解题的能力。

1    方程及其相关思想

1.1  概念

含有未知数的等式叫作方程。

1.2  类型

方程的类型包括很多，像在小学和初中接触的，按照顺序来分的话，就是一元一次方程，后来又学习二元一次方程和二元一次方程组，然后是一元二次方程。当然多元类型的方程本文不研究。

1.3  相关思想

笔者认为，方程的思想与反证法相似，都是用逆向推理的形式，只不过反证法是把结论否定，然后验证与题中已经知道的条件矛盾，而方程则是先设想要求解的结论为未知数，反向推进，然后得到一个含有未知数的等式，这个等式就是方程，而这个过程就叫作构造方程，求解的过程无需拓展。从上面的过程来看，笔者认为方程的思想就是运用逆向思维去寻找一个等量关系。

2    函数及其相关思想

2.1  概念

一般的，在一个变化过程中，假设有两个变量x、y，如果对于任意一个x，都有唯一确定的一个y和它对应，那么就称x是自变量，y是x的函数。x的取值范围叫作这个函数的定义域，相应y的取值范围叫作函数的值域。

2.2  几种表示方法

（1）解析式法;（2）列表法;（3）图像法;（4）语言叙述法。

2.3  种类

大部分学生在初中开始接触函数，下面是最基本的初等函数。

（1）三角函数：y=sin x等;

（2）指数函数：y=ax（a为常数，a>0且a≠1）;

（3）对数函数：y=logax（a为常数，a>0且a≠1）;

（4）幂函数：y=xa（a为常数）。

2.4  相关思想

在学习过程中，无数次运用函数的思想去解决一些问题，到底什么是函数的思想呢？事实上，函数最大的便利就是可以利用数形结合的方式去解决问题，图像是非常方便的一个方式。所以在分析函数问题时，会充分利用其自身的性质以及图像来充当已知条件，运用数形结合，之后就类似于方程的步骤。所以笔者认为，函数的思想就是设一个新的函数，把想得到的结果转换到另外一个函数上，以此来解决原有问题。在这里，转化是关键，数形结合的转化以及由一个函数转化到另一个函数的过程极为重要。

3    用函数与方程的思想解决实际问题

3.1  用函数与方程的思想解决关于不等式类型的问题

例1  当x∈R时，不等式a+cos2x<5-4sinx+恒成立，a∈R，求a的取值范围。

分析：在这个题中有两个未知量a和x，其中x∈R，另一个未知量a的范围就是我们需要求的解，此时我们需要先把a和x拆开，这个过程我们叫它分离。

解：由分析可知，需要先移向项，a+cos2x<5-4sin x+等价于a+cos 2x<5-4sin x+，所以只需-a+5永远大于4sinx+cos2x的max值即可。因此，这道题成功地被转化成为求f（x）=4sinx+cos2x的max值问题。

f（x）=4sinx+cos2x=-2sin2x+4sinx+1=-2（sinx-1）2+3≤3，所以-a+5>3，即>a-2，则可以归纳出或，解得。

3.2  用函数与方程的思想解决关于解析几何类型的问题

解析几何这类问题接触的很多，其思路就是将曲线所表达的解析式看作一个函数的表达式。例如中考的最后一道大题，往往都是动点、动直线的问题，有函数与方程的思想能很方便地解决这类题。

例2  设双曲线C：与直线l：x+y=1相交于两个不同的点A、B。

求双曲线C的离心率e的取值范围。

设曲线l与x轴的交点为P，且，求a的值。

解：（1）由C与l相交于两个不同的点，

所以可以建立一个方程组 有两个不同的实数解，消去x，整理得：，①

因此得

解得，

所以双曲线离心率，

因为，

所以，

即离心率e的取值范围为。

（2）设（x2，y2）， A（x1，y1）， B（x2，y2）， P（1，0），

因为，

所以

由此得：。

由于y1，y2都是方程①的根，

且1-a2≠0，，，

消去y2，得，

由a>0，所以。

3.3  用函数与方程的思想解决关于二项式定理类型的问题

一般来说，与二项式定理相关的函数形式一般为f（x）=（a+bx）n（n∈N）*，中学阶段就接触过，它与函数相辅相成，由此找到需要的数据和规律来解决问题。

例3设f（x）=（1+x）a+（1+x）b，其中（m∈N*，n∈N*），它的展开式中x的系数和为19，求f（x）中x2项系数的最小值。

解：由题可知，

a+b=19，整理得a=19-b，

则f（x）中x2项的系数为

，

因為b∈N*，

故b=9或b=10时，

f（x）中x2项系数取得最小值，

最小值为81。

注意：充分运用二项展开式的通项公式，把x和x2项的系数转换为a，b的关系式，由此可以将x2项的系数转换为a或者b的二次函数。

4    结语

我们应该熟练掌握如何运用函数与方程的思想解决不同的类型题，分别为：不等式、三角函数、解析几何、二项式定理，并且每种方法都有详细的介绍、举例、解析和总结。这样就可以从题中所给条件以及题目不同种类，选择不同的解题方式，这些类型题都在不同的方向上运用了函数与方程的思想。因此，学习本文，就可以更好地运用函数与方程的思想解题。

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