导数在高中数学解题中的有效应用

郑洁

摘 要：在高中数学人教版的教学中，我一直认为培养学生运用导数知识的能力应该是教师教学的重点之一，因为导数作为我们研究数学的一个重要工具，在我们进行高中数学的解题时，不论是在代数知识、几何知识，还是在数学实际的解题中，利用导数知识，都能够帮助我们更好的找到解题思路，那么，在实际教学中，我们应该如何引导学生正确运用导数知识来解决这些问题呢？

关键词：高中数学;导数;教学方法;

引言：在高中阶段数学的学习中，我们会遇到多种多样的学习方法、教学方法以及数学思想，但是在解决高中数学问题的时候，我们会遇到很多很难用初等数学知识解决的问题，因此在对这些问题进行解决时，我们可以利用函数的方法对问题进行建模，而学习导数知识，就能够加强我们对函数思想的运用能力。

一、在高中数学代数问题的解题过程中，我们应该如何正确运用导数知识？

很多学生在学习中会有这样的疑问：我们为什么要学习导数？除了前文所提到的以外，教师还应该告诉学生，导数是我们以后学习微积分的基础，而微积分则是我们科学的认识这个世界的钥匙。以此提高学生对导数学习的重视程度，唤起学生对未来数学学习的兴趣，促进学生在数学道路上的可持续性发展。

既然导数知识在高中数学中的作用如此巨大，那么我们应该如何正确的运用导数知识呢？本部分将以高中数学中的代数问题为例。

（一）函数部分

函数与导数作为高中数学的核心内容之一[1]，在解决函数类问题时，运用导数知识能够更好的突出函数的性质。

首先，在求值域之类的问题中，这种问题是学生在学习高中数学函数知识，乃至在学生整个高中数学阶段的学习过程中的重点，同时也是教师教学的难点，解决这类的方法有很多，其中最简便的方法就是利用导数求值域的方法。在解题过程中，我们可以先找到问题函数f（x）的定义域是什么，然后根据这个定义域思考f’（x）应该是正的还是负的，继而求出函数的值域。

其次，在求最值的问题中，我们依然可以利用导数的方法，以题目为例：已知f（x）=x3-2x，求这个函数在[-2，1/2]上的最值。在利用导数的相关知识做这道题目的时候，我们可以先根据f’（x）求函数的递增、递减区间，然后再推理该函数的最大值或最小值。

（二）方程部分

在方程相关问题的解答中，导数最大的一个功能就是能够将方程降次。如我们就可以将x3-mx2+1=0先设为f（x）=x3-mx2+1，，然后利用导数的方法对这个方程进行降次处理，处理为f’（x）=3x2-2mx，之后再运用高中数学中方程的相关解题方法去做题就会更加简便了。

（三）数列部分

数列知识贯穿于我们在高中数学的整个学习过程中，学生在考试中对数列方面的综合类题目进行解答时，往往容易出现各种错误，究其原因就是没有掌握正确的数列解题方法，作为一名高中数学课教师，在实际教学中，我们可以适当的引入导数知识，来帮助学生更好的学习数列内容。

如在求最大值的数列问题中，已知条件为：an=n2（10-n）中，我们就可以先将其以f（x）=x2（10-x）的形式表达出来，然后利用导数知识，将其转变为f’（x）=20x-3x2的形式，并求f’（x）的最值和单调区间，然后根据这些数值和相关已知条件求出待解问题就可以了。

二、在高中数学几何问题的解题过程中，我们应该如何正确运用导数知识？

学生在学习数学知识时会遇到多种多样的数学问题，除了代数问题以外，还有一些几何问题，在初中数学的学习中几何问题并不难，但是当学生开始正式进行高中数学学习的时候[2]，就会遇到一些较为繁琐的几何问题，为了帮助学生找到这些问题的最好解决方案，我们可以教授学生一些利用导数求解几何问题的方法。

如在求几何图形的切线（直线）方程的相关问题中，我们就可以利用导数的方法，先将几何问题中的曲线方程看做是函数的形式，然后再根据相关的求导法则就可以轻而易举的求出来这个几何图形的切线（直线）方程了。如已知几何图形的曲线方程是：2x2-y2=2，想要求这个方程在相关条件下的直线方程，我们就可以先将其视为函数的形式，然后再利用導数知识，通过对两边进行分别求导的方法，并根据题目中的已知条件，就可以求出该方程的直线方程了。

三、在高中数学实际问题的解题过程中，我们应该如何正确运用导数知识？

在高中数学的学习中，导数在我们进行代数、几何等相关问题的解题时，能起到重要的辅助作用。那么，导数是不是只可以被应用在这些知识点的解题中呢？当然不是，在我们的实际生活中也有很多数学问题，在对这些数学问题进行解答时，我们也可以利用导数的相关内容。

如在问题中：某地有两个人都想在小河东侧建立工厂，其中小明将工厂建在如图所示（图略）紧靠河岸的A处，小红建在了距离这条小河40千米的B处，如果以B为起点相小河做一条垂直钱，交小河与点C，那么AC等于50千米。为了工厂更好的发展，这两个人决定建造一个供水站，经过计算，发现供水站到小明工厂使用的水管费用为3a元/km，到小红工厂的水管费用则为5a元/km，为了花费最少的钱，这个供水站应该建在什么地方？在这个问题中，我们就可以先根据已知条件假设水管的费用是f（a），然后求出f（a）的函数解析式，再通过导数知识求出f’（a）的解析式，最后再根据实际问题内容通过求函数最值的方式，求出问题最终答案。

四、总结

总之，导数知识作为我们在高中数学的教学中最重要的数学知识之一，其作用远不止文中所提到的这些。因此，教师在实际教学中应该加强学生对导数学习的重视程度，提高学生在学习中运用合适的数学思想利用导数知识的方法解决数学问题的能力。

参考文献

[1]陈博文.规范灵活的思维是解决压轴题的关键——以展示两道函数与导数压轴题解题历程为例[J].中学数学研究，2018（1）：39-42.

[2]张梓萱.导数在高中数学解题中的应用浅析[J].学周刊，2018（6）：49-50.