“旋转圆”动态图的一种替代方法

张奉平

摘要：“旋转圆”法是高中物理中处理带电粒子在有界磁场中运动时常用的方法，由于需要画出一系列轨迹圆的动态图，因而该方法对作图要求高、容易导致卷面不清，比较繁杂，此文介绍了一种替代方法，让粒子在磁场中运动的轨迹圆不动，将粒子的不同入射方向画在该轨迹圆上的不同点，再将磁场边界移动到入射点处，在同一圆周上来比较粒子的运动情况，更加清楚明了，对磁场边界较简单的问题处理起来更加方便简洁。

关键词：“旋转圆”动态图;替代法;移动磁场边界

“旋转圆”法是带电粒子在匀强磁场中运动时，由于速度大小不变，即粒子做匀速圆周运动的半径不变，但射入速度方向不同或方向变化而导致在磁场中运动情况各不相同时，通过画出一系列动态圆，从而找出临界状态或变化范围的方法。这是中学物理中常用的一种经典的处理问题的方法，然而，该方法对作图要求高，由于要画很多个不同位置的圆，有时不便于比较，费时费力，还容易导致卷面不清，比较繁杂。下面介绍一种简洁的方法替代旋转圆法：

由于圆周运动的半径不变，我们先以该半径作出一个带电粒子运动的轨迹圆，保持该圆固定不动，不同的入射方向变成从该圆周上不同的点入射。如图一所示：竖直方向进入相当于从A点进入;斜向右上方偏30°进入，相当于从B点射入;斜向左上方与竖直方向偏60°进入，相当于从C点射入……。然后将磁场边界画在相应入射点处，这样让轨迹圆固定不动而移动边界，在同一个圆周上就能很清楚地看出其在磁场中的运动情况，从而确定临界

状态或变化范围，下面举例加以说明：

例一：如图二甲所示，在屏MN的上方有方向垂直纸面向里磁感应强度为B 的匀强磁场，P为MN上一小孔，PC与MN垂直。一群质量为m，带电量为-q的粒子（不计重力）以相同的速率v，从P沿垂直于磁场方向射入磁场，粒子入射方向在与磁场垂直的平面内，且散开在与PC夹角为θ的范围内，则屏MN被粒子擊中的区域长为（）

解析：由题意可知，所有粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径相同，设为R，则 。

在如图二甲中沿PQ₁、PC、PQ2三个方向射入的情况相当于在图乙的轨迹圆中从如图所示的位置开始做圆周运动，再将磁场的边界PN画在相应的入射点处，很容易看出，沿PQ₁方向射入的粒子出磁场时打在边界上的B1点，离入射点距离为PB1;沿PC方向射入的粒子出磁场时打在边界上的B2点，离入射点距离为PB2;沿 PQ2方向射入的粒子出磁场时打在边界上的B3点，离入射点的距离为PB3;其他方向入射的情况依此类推。由乙图很容易看出PB1=PB2且为最短的距离，

PB3为最远的距离，易得到在边界上被击的区域长为PB₂-PB₁=2R-2Rcosθ=   答案为：D

例二：如图三甲所示，竖直线MN∥PQ，距离为a，其间存在垂直纸面向外的匀强磁场，其磁感应强度为B。O为MN上一点，某时刻放出大量速率为v（方向垂直磁场方向）且比荷一定的带正电粒子，不计重力与粒子间相互作用力。已知沿图中与MN成角θ=60°射入的粒子恰垂直于PQ射出，请描述θ从0°到180°方向射入的粒子在磁场中运动时间的变化情况并求出运动时间的取值范围。

解析：由题意可知，所有粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径相同，设为R，当θ=60°方向射入时，相当于该入射点在如图三乙所示轨迹圆上的A点射入，将磁场边界画到该处，即MN过A点，PQ过圆心O点，由几何关系

得

其他不同方向入射，也相当于在轨迹圆上不同点射入磁场开始运动，仍把磁场边界MN、PQ移动画到相应的位置，两边界之间的圆弧即为该方向射入时粒子在磁场中的运动情况，容易看出，当粒子从B点射入时，在磁场中圆弧BC较短，用时也较短，当粒子从D点射入时，其轨迹恰好与磁场右边界PQ相切，弧长DE最长，用时也最长，然后随着θ角增大，在磁场边界内粒子运动的圆弧越来越小，用时也越来越短，当沿θ=180°方向射入时，相当于从轨迹圆上的F点射入，用时最短为零。故时间的变化情况是先减小后增大到最大再减小到零。

当从D点射入时，有  可知

弧

时间的取值范围为：

由上可知，该方法是将原来的磁场边界不动、旋转轨迹圆变成轨迹圆不动，移动磁场边界，只不过是将不同的入射方向画在轨迹圆上的相应的点处，在同一圆周上来确定粒子在磁场中运动的圆弧段，对于比较简单的磁场边界这种方法便于比较、更易看出动态过程及临界情况，可以化繁为简，但是对比较复杂的磁场边界，如圆形磁场边界，此时移动边界就是移动磁场边界圆，与旋转圆法类似，不能简化，仍较繁杂。

（作者单位：南充高级中学）