关于高等数学中极限思想的研究

程梓洁

【摘 要】极限是高等数学中一种基础且比较重要的知识，本文主要针对高等数学中极限思想的研究。由于对极限思想概念难以把握和理解，特提出从了解内涵，熟悉方法，掌握其描述三个层次来理解极限思想并解决有关高等数学中的极限思想问题。

【关键词】极限思想;辩证思维;高等数学

【中图分类号】G642  【文献标识码】A  【文章编号】1671-8437（2019）28-0010-02

1   引言

高等数学中的极限思想是一种基本概念，在整个高等数学的学习过程中占有极其重要的地位。极限思想为高等数学理论方面的学习和研究以及应用实践创造的拓宽作出了进一步的深化，加强了学生对高等数学的理论方面的掌握，便于学生解决复杂的数学问题。极限思想有着不同于初等数学中的知识特征，同时其也是对高等数学实践应用方面研究的主要方法。在整个高等数学的学习过程中有许多的重要概念都是通过极限思想定义而成的。从高等数学中连续的思想到导数的概念，从积分论中一元函数的积分到重积分以及曲面积分全部都是由极限思想定义而成的[1]。高等数学中的极限思想不仅是一个简单且易掌握的数学概念，它同时也是一种对客观世界数量变化处理的新思维、新方法。

作为学生，在小学到初高中学习的数学内容被称为初等数学，又称为常量数学。在初等数学时期，从公元前五世纪到公元十七世纪，延续了两千多年，初等数学的结束是由于高等数学逐渐产生。在初高中数学的学习中，学生接触的都是常量计算，所以学生容易产生一种定式思维，而高等数学则是以一种运动的、变化的思想来解决和处理问题，极限思想就是处理这种问题最为有效且便捷的方法。因此，高等数学中极限思想的掌握直接影响着数学的深入学习与发展。

2   正确了解无限的内涵

极限思想是由于人类在社会实践中大脑因思考活动而抽象思维出的一种特殊的产物。极限的思想可以追溯到古代。如中国古代刘徽的割圆术就是建立在直观的图形研究基础上的一种原始的“不断靠近”的极限思想的应用;古希腊人发现的穷竭法同样也是蕴含了这种极限思想[2]。变量与常量、无限与有限的思想就是极限思想所揭示的奥秘所在，并且借此证明了他们两者的对立且统一的关系，这两者是唯物辩证法中的对立统一规律在数学领域中的精妙应用。其中“无限”与“有限”的概念虽然其本质是不同的，但是二者又有着千丝万缕的联系，“无限”是大脑中抽象思维的概念，存在于大脑里。“有限”是客观实际存在的千变万化的事物的“量”的映射，符合客观实际规律，“无限”属于整体，按公理，整体大于局部思维[3]。

如在高等数学中数列的极限收敛定义：设{Xn}为一个无穷实数数列的集合。如果存在实数a，对任意正数ε（不论其多么小），都N>0，使不等式|Xn-a|<ε在n∈（N，+∞）上恒成立，那么就称常数a是数列{Xn}的极限，或称数列{Xn}收敛于a。记作或。该定义中使用到了“无限”思想的内涵：自然数N的无限大，数列{Xn}趋近于a，这也就是“无限”数列的关键。

3   熟悉辩证的思维方式

辩证思维是指从事物不断变化发展的角度开始逐渐认识事物的思维方式，这种思维方式通常情况下被认为是与逻辑思维相互作用的一种思维方式。在极限思想发展的整个过程中，就充分体现了变与不变的辩证思维方法。事物的运动是绝对的，而静止则是相对的，这是物质世界的普遍发展规律[4]。如函数y=2x中，x是该函数的自变量，y是因变量，y随x的变化而变化，“2”则是该函数中的常量，这一个简单函数中就体现了“变与不变”的关系。在极限中，当n的不断增大，Xn无限趋近于a，n越大精确度就越高，那么只有当n无穷大时才等于a。这一极限的思想就将约似与精确两个相互对立的基本概念转化成了一体，这一过程就充分地体现了约似与精确两者的对立与统一。

掌握辩证的思维方式是一段漫长而又艰难的过程，当学生刚踏入大学校园时对一切认知都是感到新颖的，刚刚学习高等数学的极限思想切忌操之过急，揠苗助长，导致事半功倍。在整个数学学习的过程中，逐步掌握辩证的思维方式是学习的基础，这一逐步提升的过程将对学生无论是学习高等数学或是其他学科都有极为重要的意义。

4   掌握数学语言对无限的描述

无限与有限是相辅相成的，相依而存的。如在极限收敛的定义中，如果存在实数a，对任意正数ε，都

N>0，使不等式|Xn-a|<ε在n∈（N，+∞）上恒成立，那么就称常数a是数列{Xn}的极限，或称数列{Xn}收敛于a。记作或。这是高等数学中的ε语言，定义中的ε是任意变化的，但是从结题的最后结果来看ε又是固定的，有限的，这就体现了“变与不变”的辩证思想方式，“ε语言”的巧妙运用把极限思想体现得淋漓尽致[5]。通过理解这种极限思想，学会用有限来描述无限概念，这对学生今后的数学学习有着重要作用，这是掌握极限概念的关键因素。高等數学中的极限语言并不是那么难以掌握，作为学生要学会在理解的基础上掌握，在掌握的条件下灵活运用，从而解决生活和学习中的困难与问题。有一些数学概念用文字语言描述并不那么难以理解，但是用数学语言描述却有些晦涩难懂，如极限的定义就是如此。其实，在不断学习新知识的过程中，学生会逐步体会运用数学极限语言的重要性，必要性，准确性，灵活性，让学生学习数学的能力更上一个台阶。

5   结束语

因生活中的实际需要进而产生了数学概念，所以，在整个数学学习和数学教学的过程中，应重视从实际的角度抽象出数学概念思想，培养学习数学的兴趣爱好。极限思想是数学学习过程中的重难点，贯穿于整个高等数学体系中，要想恰当的理解和掌握并熟练运用极限思想不是一个简单的过程，要循序渐进的逐步提升。通过今后的数学学习，学生将进一步准确掌握极限思想，并且能够灵活地将这种思想运用到除高等数学以外的其他科目的学习中去。掌握辩证的思想是数学学习的基础，在“变与不变”中体会数学的美妙与神奇之处。运用简便的数学语言描述复杂的数学思路，这是解决数学题目的关键所在，也是数学学习的精妙。

【参考文献】

[1]徐利治.数学方法论选讲[M].武汉：华中理工大学出版社，1988.

[2]沈燮昌.邵品琮.数学分析纵横谈[M].北京：北京大学出版社，1991.

[3]刘玉链.数学分析讲义[M].高等教育出版社，1984.

[4]王丽丽.高等数学中极限思想的浅析[J].淮南职业技术学院学报，2015（3）.

[5]陈刚，米平治.关于高等数学中极限思想的研究[J].大学数学，2001（3）.