“正弦定理”(第1课时)教学设计及评析

邓富钟 张筱玮

摘要：文章以“正弦定理”（第1课时）为例，通过数学实验，融观察现象、合情推理于数学问题的发现与证明的过程中，设置恰当问题，介绍可行方法，引导学生运用数学式研究发现正弦定理，并完成逻辑证明。在以单元教学设计思想为指导时，始终贯彻《普通高中数学课程标准（2017年版）》所倡导的在课堂教学中注重学科核心素养养成的理念。

关键词：正弦定理;教学设计;核心素养;数学实验

“正弦定理”（第1课时）完成了“正弦定理”教学设计、课件和微课程制作，在大学教师教育必修课程“中学数学教学设计”课上开展了模拟授课，在合作中完成了实践教学，收到了预期的教学效果。

一、教学设计说明

依据《普通高中数学课程标准（2017年版）》（以下简称《标准》）的要求，“平面向量及其应用”这一单元的学习，主要包括平面向量的几何意义和代数意义，平面向量的概念，平面向量的加法、减法、数乘、向量共線定理、平面向量基本定理，以及向量的应用等学习内容，有利于养成和提升学生的直观想象、逻辑推理、数学建模、数学运算和数学抽象素养。

本学习单元中“正弦定理”的学习内容，我们以《标准》为指导，以人教A版《普通高中课程标准实验教科书·数学5（必修）》（以下统称“教材”）内容为素材，突出促进数学学业和数学核心素养发展的教育理念，教学设计中以多元智能理论、布鲁姆教育目标分类学，以及加涅的教学设计原理为理论基础。考虑到目前还没有以《标准》为指导的教材，此学习内容的设计旨在突出“数学发现学习”，采用GeoGebra动态绘图软件辅助教学，让学生可以通过观察发现正弦定理。

依据《标准》主题三“几何与代数”，第一单元“平面向量及其应用”，各部分内容的关系如图1所示。

而依据教材第一章解三角形，各部分内容之间的关系如图2所示。

二、教学设计实施

1.教学内容分析

“正弦定理”（第1课时）选自教材第一章第一节“正弦定理和余弦定理”。课程安排在三角函数和向量知识之后，既是三角函数知识在三角形中的具体运用，又是初中阶段“三角形边角关系”和“解直角三角形”内容的延续与拓展，更是处理可转化为三角形计算的其他数学问题，以及生产、生活中实际问题的重要工具。

2.学生学情分析

学生在初中阶段已经学习过平面几何的相关知识，并且能够熟练地解决直角三角形的问题。在《普通高中课程标准实验教科书·数学4（必修）》中也刚刚学习过三角函数，因此学生对于本章节的知识内容不会感到陌生，对于知识的理解也不会有很大困难。此时学生已经有了一定的观察分析能力和解决问题能力，但是在前后知识的串联和综合运用上会有一定的困难。创设适应学生学习水平的环境，激发学生的学习兴趣，提高学生学习的积极性是教师需要首先考虑的问题。因此，多设置思维引导点，引领学生分析问题、解决问题，注重前后知识之间的联系，用已有知识解决新问题，形成新的数学认知结构。

3.教学目标确定

（1）从已有三角形知识出发，通过观察、实验、猜想、验证、证明，从特殊到一般得到正弦定理，掌握正弦定理，了解正弦定理的一些推导方法，并学会应用正弦定理解决斜三角形的两类基本问题。

（2）通过对实际问题的探索，培养学生发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力，增强学生的协作能力和交流能力，发展学生的创新意识，培养学生的缜密思维。

（3）通过自主探究、合作交流，亲身体验数学规律的发现过程，培养学生勇于探索、善于发现、不畏艰难的思维品质和个人素养。

（4）培养学生合情合理探索数学规律的数学思想方法，通过平面几何、三角函数、正弦定理等知识之间的联系，体现事物之间的普遍联系与辩证统一。

（5）提升学生的直观想象、逻辑推理、数学建模、数学运算和数学抽象素养。

4.教学重、难点

学习重点：正弦定理的发现、探究，以及两类基本问题的应用。

学习难点：正弦定理的发现过程及证明。

5.教学过程设计

教师活动呈现的学习情境、提出驱动性问题、学习任务类型;对应学生活动，示范指导学科思想方法，关注课堂生成，纠正思维错漏，恰当运用评价方式与评价工具持续评价，促进学生学习。

学生活动呈现在真实问题情境中开展学习活动;围绕完成学习任务开展系列活动，与教学环节对应，学生在“分析任务一设计方案一解决问题一分享交流”中学习，并有实际收获。

师：我们都知道，在三角形中“大边对大角”。也就是说，在三角形的内角中，边越长，它所对的角也就越大。那么，三角形内角与其对边的这种关系是否存在一种等量关系呢？如果存在，能否用一个等式把这种关系表示出来呢？同学们试结合已学知识探究这个问题。

学生展开交流，三角形内角与其对边的这种关系会是怎样的等量关系。

[设计意图]从以往的“大边对大角”的定性概念出发，向学生提出问题，引发学生对边角关系从定性到定量的思考，激发学生的学习兴趣。学生也有可能没办法说出准确的定量关系，但是会在学生的思维中播下一颗种子，让学生带着问题有目的地进行后续的学习。

师：研究问题常常从特殊情况入手，你们也可以试着从特殊三角形入手。

生1：在正三角形中，三边等长，三个角等值，其他三角形中没有这样的边角关系。

[设计意图]启发学生运用特殊到一般的思想，尝试从特殊三角形入手。虽然能看出一些微妙的关系，但是仍然不能完全解决问题，学生可能会自发地对三角形的边角关系提出疑问，从而进一步激发学生的学习兴趣。

师：同学们想一想，在一个特殊的直角三角形中，边和角会有怎样的关系？例如，在Rt△ABC中，∠A=30°，∠B=60°，∠C=90°，设边长分别为AB=2，BC=1，AC=3。此时，边与其对角有没有等量关系？若有，其等量关系是什么？

生2：∠B的大小是∠4的两倍，边AB也是边BC的两倍，但是∠B和∠C却不是这样的关系，因此肯定不是角与边直接的倍数关系，那么又是什么样的等量关系呢？

[设计意图]对于一个给定数据的三角形进行分析之后，发现边和角并没有统一的直接倍数关系，教师进一步设疑，为引出三角函数做铺垫。

问题3：某国巡逻艇A正在领海内执行巡逻任务，发现其正东处有一不明国籍的舰船B在本国领海内正以30海里/时的速度朝正北方向航行，决定向其发射预警鱼雷。已知鱼雷的速度为60海里/时，问怎样确定发射角度可击中敌舰？如果其他条件不变，划线部分改为该舰船朝北偏西40°方向航行，此时，我方又应该如何确定发射角度可击中敌舰？

三、设计思想解析

1.突出单元设计思想，任务化学习活动

教学设计突出学生学习的主体地位，依据《标准》要求突出单元和课时学习对学生发展的价值，设计情境化、任务化的学习活动，在教师的引导、指导和服务下，增强学生学习过程的体验性、实践性和整体性。

正弦定理是对任意三角形边角关系进行量化分析的结果，从直角三角形的边角关系推导出正弦定理的一般形式。

本节课教师精心设计了符合学生认知规律的探究过程，从特殊三角形到给定数据的三角形，再到任意的三角形，从已知到未知逐渐深入。对实验数据的分析对比和在对正弦定理的证明环节，教师通过提示和提问，启发学生自发思考应该采取的证明方法，使学生的逻辑推理核心素养得到发展。

在知识结构建构初期，从特殊到一般研究了一些特殊三角形的边角关系。在这个过程中，教师让学生亲自动手计算，通过自己的实际操作得到结果，既培养了学生的数学运算核心素养，又能让学生感受到数学的逻辑美。

在对锐角三角形、钝角三角形，以及任意三角形是否符合正弦定理的探究过程中，教师利用GeoGebra动态绘图软件，分别绘制了能够精确反映三角形的边、角，以及角的正弦關系的软件。数学实验辅助课堂教学，实现了现代信息技术与数学课堂的深度融合，对于学生直观想象核心素养的培养具有积极的促进作用。

通过不断启发学生回顾曾经学过的相关内容和掌握的解决问题方法，启发学生自发思考找到能够解决问题的正确方法，培养学生在面对困难时，充分分析已有的知识和手段，推理出对未知事物的有效探索方法的学习习惯。

2.运用GeoGebra动态绘图软件设计数学实验

数学教学软件多种多样，如适合高中数学教学的软件有GeoGebra动态绘图软件、几何画板软件、Z+Z超级画板和Hawgent等。本节课设计中教师使用的是GeoGebra动态绘图软件，其优于几何画板软件的性能，可以更好地服务于本节课的教学。GeoGebra动态绘图软件能够实时对三角形的角和边进行测量，结合清晰的设计形式，非常有利于学生进行观察、对比，从而得出结论。这款数学教学软件是由美国佛罗里达州亚特兰大学的数学教授Markus Hohenwarter于2001年设计开发的免费开源的动态数学教学软件。

3.教学设计、课堂实施和学业评价保持一致性

本节课在对单元教学解读的基础上，通过课堂教学过程设计，启发、引导学生参与课堂活动，完成对正弦定理发现、求证的过程。

作业与拓展学习中的问题具有层次性，逐渐深入，有利于检测学习者当前的学习水平。特别是问题3是应用题，学生需要通过阅读，捕捉解决问题的关键信息，经过“逻辑推理和直观想象”正确画图，通过数学抽象，完成数学建模，通过数学运算解决问题，体现了在数学课堂教学活动中培养学生学科核心素养的目的。

基金项目：国家级大学生创新创业训练计划资助项目——中学数学创新实验设计（201810065026）。