排列组合应用题背景探秘

惠丹妮 李德葆

摘 要：排列组合是高考常考内容，一般以选择题或填空题出现。它往往与生活实际紧密联系，题目背景千变万化。本文通过梳理归纳常见的排列组合应用题背景，寻找解决排列组合问题的方法。

关键词：高中数学;排列组合;应用题

排列组合是高中理科数学的重要内容之一，排列组合应用题虽然常以选择题和填空题形式出现，但又常与概率应用问题联系紧密，生动有趣千变万化，常考常新。排列组合应用题目的背景可谓“五花八门”，认真审题，识别有效信息，抓住问题的本质特征，才能用合理恰当的方法解决问题。本文从常见排列组合应用题背景出发，就其解决策略加以说明。

一、有关以立体图形为背景的排列组合问题

例1.过三棱柱任意两个顶点的直线共15条，其中异面直线有（ ）

A.18对 B.24对

C.30对 D.36对

解：如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，

过6个顶点的三棱锥共有C63-3=12个，每个三棱锥有3对异面直线，共有12×3=36对异面直线，故选D

解题关键：紧紧抓住一个三棱锥有三对异面直线这一点，问题迎刃而解。

思想方法：化整为零，同类合并。

解题策略：分解与合成策略。把一个复杂问题分解为几个小问题，这几个小问题解决了，这个大问题就解决了。

跟踪练习1：在正方体的8个顶点中，可连成多少对异面直线？

二、有关以站位排列为背景的排列组合问题

例2.2名老师和6名学生站一排照相，学生中甲、乙不相邻，而且2名老师须站在一起，不同的排法种数是 种。

解：首先将2名老师捆绑起来看成一个元素，与除甲乙之外的4名学生排列，有A55

种排法;而2名老师之间又有A22种排法;最后再将甲乙两人插入上述老师与学生的间隙中，有A62种排法，故共有A55·A22·A62=7200种。

解题关键：分清相邻与不相邻问题中元素的安排次序

思想方法：相邻“捆绑”，不相邻“插空”

解题策略：“捆绑”与“插空”策略。对于要求元素必须排一起的可用捆绑法，将其看做一个元素进行排列，再对其内部排列;对于元素不相邻的问题可用插空法，将其他元素排好后插入中间和两边。

跟踪练习2：用1，2，3，4，5，6，7，8组成没有重复数字的八位數，要求1与2相邻，3与4相邻，5与6相邻，而7与8不相邻，这样的8位数共有 个。

三、有关以分配值班为背景的排列组合问题

例3.北京《财富》全球论坛期间，某高校14名志愿者参加接待工作，若每天排早、中、晚三班，每班4人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为（ ）

A. A.

A. A.

解：从14人中选出12人有C1412种

将12人均匀分成三组有种

将三班加以排列有A33种

共有种，故选A

解题关键：有序分配问题分组逐步解决

思想方法：分步层次清楚，分类讨论，一个标准贯穿始终。

解题策略：合理分步与分类策略

跟踪练习3：小李、小张、小王3位志愿者参加某项志愿者活动，在周一至周五的5天中要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求小李安排在其他前面。不同的安排方法共有___________种。

有关涂色问题为背景的排列组合问

例4.用红、黄、蓝、黑、白五种颜色涂在如图所示的四个区域内，每个区域涂一种颜色，相邻两个区域涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用，共有多少种不同的涂色方法？

解：可把问题分为三类：

四格涂不同的颜色，方法种数为A54;

有且仅有两个区域相同的颜色，即只有一组对角小方格涂相同的颜色，涂法种数为2C51A42;

两对角小方格分别涂相同的颜色，涂法种数为A52，

因此，所求的涂法种数为

解题关键：依据相邻区域是否同色进行分类讨论

思想方法：分类讨论，加法原理

解题策略：根据某两个不相邻区域是否同色分类讨论，从某两个不相邻区域同色与不同色入手，分别计算出两种情形的种数，再用加法原理求出不同涂色方法总数。

跟踪练习4：用5种不同的颜色给图中标①、②、③、④的各部分涂色，每部分只涂一种颜色，相邻部分涂不同颜色，则不同的涂色方法有________种？

以上对于常见的排列组合应用题背景进行了梳理归纳，提出解题关键以及解题策略。但排列组合问题灵活多变，在具体的解决问题过程中仍需仔细分析题目，分清问题是有序还是无序，正确区分排列与组合。利用两个基本原理，结合十六字方针：“分类相加，分步相乘，有序排列，无序组合”，灵活选择解题方法。

参考文献

[1]高有才，马玉田.排列组合问题的应用题解题原则和策略[J].大庆高等专科学校学报，2004（4）：5-6.

[2]徐桂云.排列组合问题的类型及解题策略[J].高中数学教与学，2013（4）：40-42.

[3]王琼.排列组合应用题十一种解题策略[J.]职业教育，2018，，17（23）：78-80.