高等数学中极限定义的教学分析

武文娟

摘 要：极限是高等数学的理论基础，是步入高等数学殿堂的门槛，学好极限就为后面的连续函数、导数、定积分、级数等内容奠定了坚实的基础。本文结合学生特点及多年的教学经验，由数列极限推广到函数极限，由极限的定性描述过渡到精确定义（ε语言），使学生深刻理解极限的内涵。

关键词：极限;“ε-N”;“ε-δ”;精确定义;描述性定义

极限是高等数学的基础，高等数学中几乎所有的重要概念，如连续、导数、定积分、重积分、级数等定义都是建立在极限定义的基础上.极限的定义是学习高等数学过程中遇到的第一个较难理解的概念，多年教学时间表明，凡是高等数学学习吃力的学生，多属于对极限定义理解不透彻，因此正确理解和运用极限的定义和极限的思想方法是学好高等数学的关键，也是教学中的重点和难点。

一、极限定义的发展史

纵观极限定义的发展史，从由来、发展直到完善，经历了很漫长的时间。极限的思想可以追溯到古代，它是建立在对无限可分性认识的基础上的，如魏晋时期刘徽的”割圆术”、古希腊人的“穷竭法”。16世纪欧洲生产力的极大发展为极限思想的发展提供了社会背景，起初牛顿和莱布尼茨以无穷小概念为基础建立了微积分，后因遇到逻辑困难，在晚期不同程度接受了极限思想。尤其牛顿所运用的极限概念已经非常接近于极限的直观性定义，但他们所应用的极限概念只是建立在几何直观上，并没有给出严格的极限定义;直到18世纪，罗宾斯、达朗贝尔与罗伊里埃等人先后陆续对极限做出过各自的定义，但都无法摆脱对几何直观的依赖。到了19世纪，法国数学家柯西在前人的基础上提出了极限的描述性定义，但仍保留有几何和物理的直观痕迹，为了排除这些直观痕迹，维尔斯特拉斯提出了极限的静态抽象定义（精确定义）。

二、学生的自身特点

刚步入大学的学生，其思想还被高考的压力禁锢着，还没有完全适应大学的学习方法和教学方法。高中数学主要是计算，老师教一种方法，学生只需不断加以练习直至掌握。而大学却不是这样，高等数学中各种各样证明超级多，课堂上老师讲课速度很快，两节课，100分钟都是老师在讲，学生在下面听。因为课时少，加上内容又多，老师通常一节课会讲几个知识点，学生要靠自觉性去消化吸收，整个知识体系体系也要靠自己去补充完善，大学没有老师跟前跟后督促，没有父母一刻不停的唠叨，没有铺天盖地的作业练习，就要求学生自发的学习，学生要学会自我管理、自我监督，另外相比较其他科目而言，数学的学科性很强，具有很强的抽象性。大部分学生对数学都有畏惧心理，都觉得数学很枯燥无味，不愿意学。并且极限定义的逻辑结构较为复杂，符号较多，数量关系错综复杂，这就导致学生在学习极限定义过程中会出现各种问题。

三、由极限的描述性定义到极限的精确定义

如何处理极限两种定义的关系，历来都是一个比

较有争议的问题。因为描述性定义易理解但略显粗糙、不精确，精确定义精确但是学生难以理解和掌握。究竟采用哪种定义应根据学生情况做到有的放矢，对于理工科学生完全可以采用精确定义加深学生对极限思想的理解。由于學生在高中阶段已经学过极限的描述性定义，因此在教学过程中只需通过一些具体的实例，结合图形，来加深对描述性定义中的两个关键词“无限趋近”的理解，在此基础上，我们再进一步学习极限的精确定义。教学的关键是如何实现从极限的定性描述到定量分析。

总之，极限思想是高等数学学习中的重点、难点，教学过程中若有意识引导学生体会极限的思想方法，理解极限定义的实质，通过恰当的教学方法帮助学生掌握极限的描述性定义和精确定义，以让学生在高等数学之后的内容学习中轻松过渡，为学好高等数学垫下坚实的基础。

参考文献

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