三角函数问题中化归法的运用

张春

摘 要：在解决问题的进程中，数学常常不是直接解决原问题，而是对问题进行变形、转化，直至把它化归为某个（些）已解决的问题，或容易解决的问题。把所要解决的问题，经过某种变化，使之归结为另外一个问题*，再通过问题*的求解，把解得结果作用于原有问题，从而使原有问题得解，这类解决问题的方法，我们称之为化归法.。

关键词：转化；化归法；三角函数

一种好的数学解题法能化繁为简，化难为易；有较强的规律性；能产生新的"子方法"。"化归法"就是这样的方法之一。所谓"化"，指化解或转化：将一个问题化解为几个小问题；将这类问题转化为另一类问题；所谓"归"，指归于最简单的问题，或归于原问题，或归于基本定律定理。化归法在数学学习中广泛地使用到。

今天，高考已经成为我们生活中的一件大事.高考不仅仅是一门竞技比赛，它同样是一门艺术，研究高考就要从历年的高考试题入手，将其进行分类归纳总结，并通过高考试题窥探高考动向，总结高考规律，从而真正的征服高考，把握住自己的命运.而在数学考试中，胜算的最主要因素不只是坚实的基础，更重要的是建立在一定基本功和能力基础上的那种做题的“方法和技巧”.

化归是一种重要的数学思想所谓化归是指将一个生疏、复杂的问题转化为熟知、简单的问题来处理的一种思维方法.即把所要解决的问题，经过某种变化，使之归结为另一个问题*，再通过问题*的求解，把解得结果作用于原有问题，从而使原有问题得解，这种解决问题的方法，我们称之为化归法.

化归法是数学家们常用的一种方法，也是数学方法论中研究的基本方法之一.实际上，中学数学中，化归方法的应用，无处不在。

近几年高考已逐步抛弃了对复杂三角变换和特殊技巧的考查，而重点转移到对三角函数的图象与性质的考查，对基础知识和基本技能的考查上来 .在考查三角公式进行恒等变形的同时，也直接考查了三角函数的性质及图象的变换，降低了对三角函数恒等变形的要求，加强了对三角函数性质和图象的考查力度.三角函数的命题趋于稳定，今后几年高考可能依然会保持原有的考试风格，尽管命题的背景上有所变化，但仍属基础题、中档题、常规 题.实施新课标后，新一轮基础教育的改革增添了与现代生活和科学技术发展相适应的许多全新的内容，它们会吸引命题者关注的目光.

经分析，三角函数试题可以归纳为以下几种典型题型：

1、三角函数的概念及同角关系式

此类题主要考查三角函数诱导公式及三角函数的符号规律.解此类题注意必要的分类讨论以及三角函数值符号的正确选取.

例：（全国I卷理2）记 ，那么 （）

评注：本小题主要考查诱导公式、同角三角函数关系式，并突出了弦切互化这一转化思想的应用.同时熟练掌握三角函数在各象限的符号.

2、三角函数的化简求值

这类题主要考查三角函数的变换.解此类题应根据考题的特点灵活地正用、逆用，变形运用和、差、倍角公式和诱导公式，进行化简、求值.

例：（重庆文数15）如题（15）图，图中的实线是由三段圆弧连接而成的一条封闭曲线 ，各段弧所在的圆经过同一点 （点 不在 上）且半径相等.设第 段弧所对的圆心角为 ，则 ____________

评注：本题以过同一点的三段圆弧为背景，考查了三角恒等变形中公式逆用的基本技巧，将已知与求解合理转化，从而达到有效地求解目的.

3、 的图象和性质

图像变换是三角函数的考察的重要内容.解决此类问题的关键是理解 的意义，特别是 的判定，以及伸缩变换对 的影响.

例：（全国卷2理数7）为了得到函数 的图像，只需把函数 的图像（ ）

（A）向左平移 个长度单位 （B）向右平移 个长度单位

（C）向左平移 个长度单位 （D）向右平移 个长度单位

评注：本题主要考查三角函数的图象变换中的平移变换、伸缩变换，特别是函数 中的 对函数图象变化的影响是历年考生的易错点，也是高考的重点.

4、三角形中的三角函数

此类题主要考查在三角形中三角函数的利用.解三角形的关键是在转化与化归的数学思想的指导下，正确、灵活地运用正弦、余弦定理、三角 形的面积公式及三角形内角和等公式定理.

例：（天津理数7）在△ABC中，内，B，C的对边分别是a，b，c，若 ，则A=（）

（A） （B） （C） （D）

评注：解三角形的基本思路角A是利用正弦、余弦定理将边化为角运算或将角化为边运算.

通过恰当地使用正弦、余弦定理将有关的边角确定，从而解决问题。

.5、三角应用题

此类题主要考查三角函数实际应用.解决三角应用题的关键是认真阅读题目，正确理解题意，运用所学知识建立适当的三角模型，准确无误的计算等.

例：（北京文7）某班设计了一个八边形的班徽（如图），它由腰长为1，

頂角为 的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成，该八边形的面积为（ ）

（A） ；（B）

（C） （D）

评注：本题主要考查解三角形等基础知识，考查运算求解能力以及应用数学知识分析和解决实际问题的能力，考查化归与转化思想、数形结合思想.

6、三角函数的最值及综合应用

此类问题主要考查三角函数最值和与三角函数有关学科内综合问题，如与平面向量、不等式、数列、解析几何等相结合。多为解答题。而三角形中三角函数最值问题仍将是高考的热点.如：

例：（湖南文数16.）已知函数 .

（I）求函数 的最小正周期；

（II） 求函数 的最大值及 取最大值时x的集合.

评注：本小题依托三角函数化 简，考查函数值域，作为基本的知识交汇问题，考查基本三角函数变换.

分析近年高考试卷，可以发现，三角解答题多数喜欢和平面向量综合在一起，且向量为辅，三角为主.主要可归结为以下三类：

一、运用同角三角函数关系、诱导公式、和、差、倍、半等公式进行化简求值类.

例13.已知向量

.

（1）若 ，求 的取值范围；

（2）函数 ，若对任意 ，恒有 ，求 的取值范围.

二、运用三角函数性质解题，通常考查正弦、余弦函数的单调性、周期性、最值、对称轴及对称中心.

例14.若 ，在函数 的图象中，对称中心到对称轴的最小距离为 ，且当 时， 的最大值为1.

（1）求函数 的解析式；

（2）若 ，求实数x的值.

例15.已知向量

（1）求 的值；

（2）设函数 ，求x为何值时， 取得最大值，最大值是多少，并求 的单调增区间.

例：设向量 .

（Ⅰ）求 ；

（Ⅱ）若函数 ，求 的最 小值、最大值.

三、解三角形问题，判断三角形形状，正余弦定理的应用。

例：已知函数 .

（I）将 写成 的形式，并求其图象对称中心的横坐标；

（II）如果△ABC的三边a，b，c满足b2= a c，且边b所对的角为x，试求x的范围及此时函数 的值域.

例：在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知向量 ，且 .

（1）求角 的大小；

（2）若 ，求角A的值.

总之，三角函数的小题涉及三角函数的所有知识点，因此，熟练掌握公式和性质是解好小题的必要条件，在日常训练中一定要改掉学生边做题边看公式的坏习惯.再者，填空题答案书写的规范也需反复强调.

三角函数解答 题题往往是高考数学试卷的第一道解答题，试题难度一般不大，但其战略意义重大，所以稳拿该题12分对文理科学生都至关重要.

掌握化歸的思想方法对数学学习有侧重要的意义.总之，化归的原则是以已知的、简单的、具体的、特殊的、基本的知识为基础，将未知的化为已知的，复杂的化为简单的，抽象的化为具体的，一般的化为特殊的，非基本的化为基本的，从而得出正确的解答. 化归法的原则

（作者单位：重庆市万州第二高级中学）