巧用“数形结合”简单学数学

杨春

摘 要：数形结合是一种极富数学特征的信息转化，数形结合牢牢地抓住数与形之间的联系，以“形”的直观表达数，以“数”的精确研究形，将抽象的数量关系具体化，把无形的解题思路形象化，实现形象思维和抽象思维的互助互补，相辅相成。对于小学生的理解范畴来说，简单明了的图形会更直观，将这种直观的模式应用于解题，势必会收到事半功倍的效果。

关键词：小学数学，数形结合，计算教学，解决问题，提高效益

华罗庚先生曾指出：“数缺形时少直觉，形少数时难入微。”可见数与形的关系十分密切，在一定条件下，可以相互进行极富数学特色的信息转换——数量问题可以转化为图形问题，图形问题也可以转化为数量问题。因此，数形兼备，可使数与形各尽其长，取长补短，化抽象为直观，演绎出无限精彩。本文笔者就从自己多年的教学经验来谈数形结合在计算、解决问题、几何教学等方面的妙用。

一、以形辅数，理解算理——数形结合在计算教学中的运用

众所周知，计算教学是枯燥的，是泛味的。很多时候由于思想上的误差，往往有一些教师只看结果，无视过程，而忽略了小学阶段孩子的思维是从具体形象思维为主逐步向抽象逻辑思维过渡的，而且这时的逻辑思维还只是初步的，还需要具体形象，使得学生知其然而不知其所以然。我想，在计算教学中教师若能恰当地用数形结合的思想，清楚地揭示计算过程，学生便可以从中结合图形理解和感悟计算方法。

如：一年级的9加几计算教学：

师：淘气今天生日，小朋友们都知道淘气喜欢喝牛奶，所以小朋友们给淘气带来了纯牛奶和酸牛奶，课件出示：

继而问学生：“这幅图告诉我们什么，可以提出什么数学问题？

学生回答：“笑笑带来9瓶牛奶，妙想带来了5瓶牛奶，一共有多少瓶牛奶？”

当学生列出算式后，师追问：“9+5是多少，你有什么好办法能计算出正确结果？学生有的用数的方法，有的用接数法，有的用凑十的方法。

师：几种方法都很好，不过依次数比较麻烦，我们先看为什么要从5个里拿1个放进第一箱里呢？（利用图画进行直观演示），我们可以把这种想法用思维导图表示出来，（演示凑十过程：把5分解成1和4，1和9合起来是10，再想10+4=14”。）

板书：

通过这样的教学设计，通过数与形的结合，使抽象的凑十法有了形象的依托，9加几转化10加几的过程在思维导图上一目了然，这样既使学生深刻理解了这个算法的算理所在，又强化了9加几的算法，突破教学的重点和难点，收到了很好的教学效果。

二、以形辅数，简化思路——数形结合在解决问题中的运用

解决问题的教学贯穿了整个小学阶段，为了更好地分析条件与信息之间的内在联系，分析各个数量的意义，教师应充分利用学生形象思维的特点大量地用“形”解释、演示、帮助理解抽象的“数”。 教学中我们可以利用线段图等这个“形”， 将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，帮助学生建立起已知与未知的内在联系;利用这种结合，激发学生的再造性想象，激活学生的解题思路。使抽象的数学问题直观化，简单化，变抽象思维为形象思维，化难为易，从而使问题迎刃而解。

如：六年级上册《分数混合运算（一）》的教学，例题：气象小组有12人，摄影小组的人数是气象小组的，航模小组的人数是摄影小组的。航模小组有多少人？

分数混合运算的应用问题是高年级的“重头戏”，但由于数量关系复杂，同一道题里可能出现多个单位“1”量，学生难以理清题意，特别是遇到联系生活实际的问题，学生往往束手无策。在本例题的教学中，为了更好地引导学生理解航模小组与气象小组、摄影小组之间的人数关系，教师就可以有意识的把“数形结合思想方法”渗透在学生获得知识和解决问题的过程中，引导学生利用线段图进行分析。

借助线段图进行分析，把复杂的数学问题变得简明、形象，学生能直观地理解数量关系，明确摄影小组的人数是气象小组的，这里的单位“1”是气象小组的人数;航模小组的人数是摄影小组的，这里的单位“1”是摄影小组的人数，要求航模小组有多少人，必须先求出摄影小组的人数。当学生理解了这一数量间的关系后，就轻而易舉地通过对题目的理解以及线段图的关系来解本题。有利于发展学生分析问题和解决问题的能力，有利于发展他们的数学思想。

当然对于一年级的孩子来说有时可以采用画圆圈的方法。如：小丽排在第10，小宇排第15，小丽和小宇之间有几人？就可以采用了画圆圈的方法，让学生在潜移默化中感悟出画图的方法，感受到数与形结合的优点，有效地提高了学生比较、分析和解决问题的能力，避免了一年级学生那种单一的、见到数字就相加或相减的思维。当学生逐步养成画图思考的习惯，养成根据题意画图帮助理解题意后，再让学生去解决“小朋友排队做操，从前数，小红排第6个，从后数小红排第3个，这一队一共有多少人？学生就比较容易地理解为什么这题要“-1”，这样通过画圆圈这种数形结合的方法，让学生透过现象看本质，一切问题就迎刃而解了。

就这样，利用线段图、圆圈等“形”，用形的直观表达数，用数的精确研究形，更好地理解了数量间的关系，有利于将一些看似复杂的问题简单化，使一些难于下手的问题，迎刃而解，变“山重水复疑无路”为“柳暗花明又一村”，使学生尝到成功的喜悦。而且事实也证明，形象思维与抽象思维协同应用的过程，其教学效果显而易见，学生思维变清晰了，思路也开阔了。

三、以数辅形，推导公式 ——数形结合在几何教学中的运用

日本数学家米山国藏说：“数学的知识可以记忆一时，但数学的精神、数学的思想和方法却随时随地发生作用，使他们受益终生。”作为一种思想方法，数与形二者相辅相成的，贯穿了数学的各个领域。一方面我们可以以形为手段，数为目的，如以上所讲的在计算教学和解决问题教学中的应用。另一方面我们又可以以数作为手段，形为目的，通过代数方法来研究几何图形的周长、面积、体积等。可以这么解释：虽然形有形象、直观的特点，但在某些定量方面还必须借助代数的计算，特别是对于较复杂的“形”， 通过留心观察图形的特点，挖掘图形中的隐含条件，正确地把图形数字化，通过计算或数量分析的方法，深刻地理解各个条件在图形中的重要意义，从而准确地表述图形的性质，这样用学过的知识把图形用代数式表达出来，从而得出相应的公式或定理。

如：四年级下册《三角形边的关系》，从学生接触三角形以来，都是针对已成立的三角形进行学习研究，而对于让学生进一步认识的三角形的另一个特性：三角形中的两边之和大于第三边，从未涉及到。因此，教学过程中教师应以学生体验为主，运用“数形结合”的思想方法，通过摆图形，寻找数据间的关系，再通过数据的整理、分析，确定图形的存在性和图形具有的性质，从而突破“三角形任意两边长度的和大于第三边”这个重难点。教学片断如下：

（一）情境设疑：

1、师（板书）“三角形”：你看到了什么？什么样的图形叫三角形？如果用小棒来代替线段，要围成一个三角形需要几根小棒？

2、师“老师这里有一条9厘米的边，从3厘米、4厘米、6厘米的木材中再选两根，合起来做三角形，可以怎样选择？

3、学生操作演示（实物投影）：

3厘米、4厘米、9厘米  （不能围成），3厘米、6厘米、9厘米（不能围成）， 4厘米、6厘米、9厘米 （能围成）

4、设疑：为什么有的能围成三角形，有的不能围成？到底怎样的3根小棒才能围成三角形呢？能围成三角形的三根小棒之间有什么关系？

（二）实验探索：

1、从5cm、5cm、4cm、6cm、10cm共5根小棒中选三根小棒摆一摆，也可以用画一画（自己选择数据画三角形）、量一量（量已有三角形的各边）等方法来试一试。将实验结果填在报告单中：

次数 小棒的长度（厘米） 能否围成三角形 比较三边的关系

2、小组内分析数据，交流探究结果。

3、发现结论

（1）小组汇报交流实验结果：你发现了什么？（能围成的三角形任意两边之和都大于第三边。）

两条线段长度之和大于第三条线的段能围成三角形

（2）不能围成三角形的每组小棒的长短有什么关系？（每一组两边之和小于或等于第三边）

两条线段之和小于第三条线的段不能围成三角形

两条线段之和等于第三条线段的不能围成三角形

在这个环节的探索过程中始终以数形结合思想作为教学灵魂，时时渗透，处处体现。通过学生自己选择给定长度的小棒动手组成图形和用“画一画、量一量”等方法进行探究;通过借助代数的计算：比较三角形三边的关系，对数据进行整理分类和分析，深刻地理解各个条件在图形中的重要意义，这就由计算（数）转向了几何推理（形）， 使数与形紧密联系，通过数来确定形，准确和深刻地表述三角形三边的关系：“三角形任意两边长度的和大于第三边”。这样给学生提供了足够的探索时间和空间，学生不断体验和感悟着学习数学的方法，学生思维的能动性和创造性得到充分激发，分析问题和解决问题的能力得到了提高，实现了“数与形”的无缝对接，变“隔靴搔痒”为“入木三分”。

四、以数辅形，总结规律——数形结合在数学好玩中的运用

“数学好玩”是综合与实践的范畴，其设计目的是激发学生学习数学的兴趣，体会数学思想，锻炼思维能力，积累思考经验，开阔眼界。但学生对解这类题缺少方法，往往束手无策。数形结合是解题之利器。

如：四年级下册《优化》中烙饼环节的教学。教科书首先通过情境图明晰了两个内容：一是此次活动的任——爸爸、媽妈和我每人1张饼;二是烙饼的基本方法。在此基础上进行了问题串的设计。问题1是让学生尝试解决如何尽快吃上饼的问题。基于学生已有的生活经验，可能出现两种方法：一是一张一张烙的方法;二是“先烙两张，再烙一张”的更为省时的方法。在这个基础上出示问题2：“妈妈是这样做的，你能看懂吗？说一说，做一做。”这是通过通读的方式学习优化方法，学生不容易独立思考出来，同时也是学生难以理解的。因此，教学过程中教师应运用“数形结合”的思想方法，为学生设计模拟烙饼实践过程，用圆片代表饼，并在圆片上标注几号饼和正反面，学生通过摆图形，明晰“每次锅里都烙2张饼”的关键所在，探究出烙饼的优化方案，并用这种方法探究问题3，即运用方法继续解决数量较多的烙饼问题，并探讨其省时规律。

有了解决问题2的经验，学生运用数形结合的思想继续摆图形，很快找到

解决问题3的方法，即：如果烙饼数量是双数的，就2张2张地烙;如果烙饼数量是单数的，可以先2张2张地烙，最后3张按最优的方法烙，就可以达到整体的最优。教师把学生的探究过程展示在黑板上，引导学生通过图形寻找数的据依据，总结出烙饼数量较多的时间计算方法：烙饼时间=每面所用时间×烙饼张数，复杂的形最终依托简单的数（公式），正确地把形数字化。

故人言：“好雨知时节，当春乃发生 。”教学中，我们要抓住适当时机，不遗余力地为学生提供适合他们的形象材料，要巧妙地、有意识地向他们渗透数形结合等数学思想方法，并将其数学思想方法贯彻始终。这样，数学课堂才能精彩无限，才能开辟出一片新天地，学生才能学好数学，用好数学，使他们受益终生。

参考文献：

[1]张芳.数形结合在小学数学教学中的简单应用[J].小学教学研究，2015（05）。

[2]王翌强. 数无形时少直觉，形少数时难入微——谈小学数学教学中“数形结合”思想的应用[J].福建教育，2016（02）。