解构几何直观

周婷

摘要：几何直观可以分层阐述：直观感知、直观理解、直观洞察。立足教学实际，小学阶段的几何直观，以直观感知为基点，逐步向直观理解深入，同时又伴随直观洞察层次的表现。我们需要依据教学目标、学生学情合理解构几何直观，分层教学，层层深入，让学生不断积累直观感知、直观理解、直观洞察的体验，强化几何直观意识。

关键词：直观感知;直观理解;直观洞察;解构

几何直观是《义务教育教学课程标准（2011年版）》（以下简称“课标2011年版”）核心词之一。“课标2011年版”指出：“几何直观主要是利用图形描述和分析问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。几何直观可以帮助学生直观地理解教学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。”由此可见，几何直观依托于图形获得对数学问题的感性认识和理性思考。

课标概括地对义务教育三个学段的共性目标加以阐释，但在实际教学过程中，怎样才能让几何直观得到学生原生思维的支持，自然而然地生长？我们需要立足学情，跨越认知和学段之间的界限，解构几何直观，以本源促本真。

一、直观分层。层层剖析

著名特级教教师曹培英将几何直观分层叙述：直观感知，直观理解，直观洞察。我将结合实际对三种层次加以说明。

（一）直观感知

将处于感性认识阶段的、较低层次的几何直观，称之为“直观感知”，即观察认识了直观载体的外在现象或表面意义。该层次的几何直观源于学生本身的“几何直觉”，他们能够发现几何直观表述的数学事实即可，不需要他们概括总结。

（二）直观理解

直观理解基于直观感知，学生面对一项数学事实时能够尝试总结概括，自主验证。

（三）直观洞察

将高层次的几何直观，概括为“直观洞察”，即发现了直观载体的深层意义或内在本质。这对学生的思维要求较高，课堂之上我们需要不懈努力，力争唤醒高阶思维。

当然，三种层次的几何直观之间并不存在明确的界限，它们之间通常具有连续性，渐进性，一种几何直观会介于两种层次之间。对几何直观层次进行划分，只是为了让其成为数学认知更有力的支撑。

二、定位学情，重塑价值

立足教学实际，小学阶段的几何直观，以直观感知为基点，逐步向直观理解深入，同时又伴随直观洞察层次的表现。我们需要依据教学目标、学生学情，合理解构几何知识，分层教学，层层深入，让学生不断积累直观感知、直观理解、直观洞察的体验，强化几何直观意识。

我以苏教版数学六年级上册“分数乘分数”为例，浅谈自己关于几何直观教学的几点思考。

【传统教学片段】教师出示等分好的长方形。

教师：涂色部分都表示一张纸的，斜线部分各占几分之几？各是这张纸的几分之几？

学生通过图形可知×=，×=。

教师：根据乘法算式在图中画斜线，并表示计算结果。

学生通过画图可知，×=，×=。

教师：观察上面每个算式和计算结果，你有什么发现？

学生：我发现分数乘分数，分子和分子相乘，积还做分子，分母和分母相乘，积还做分母。

【思考】

上述教学中，学生看似能用运用几何直观理解算理，实则是在教师的牵引下被动表征。这样的几何直观不是从学生脑中自然而然生长的，没有得到学生原生思维的支撑，只能是“昙花一现”，几何直观的重要价值在于激发学生的几何直观潜质，让学生用直观的方式表征数学，不仅在于形成直观表征的技能，更在于发展学生思维。

三、精准加工，教学重构

（一）直观理解：开放表征空间，思维自然生长

【教学片段】

教师：刚刚我们研究出了×的得数。老师这里还有两道算式。×，×。请你选择其中一个算式，画图表示其含义，并计算结果。

学生1：先把这张长方形纸平均分成3份，表示其中的2份。然后再把这2份平均分成5份，表示其中的1份。

教师：这里的15是怎么来的？

学生：把大长方形先平均分成3份，表示其中的2份，又把这2份再平均分成5份，由图中可看出，一共把大長方形平均分成了15份，所以是15。

学生2：把长方形纸平均分成3份，表示其中的2份。因为表示的，所以再把这2份平均分成5份，表示其中的4份，最后结果是。

教师：15是怎么来的？8又是怎么来的？

学生：由图中可以看出，整个大长方形一共平均分成了15份，涂色部分有这样8份。

【思考】

学生经历横向等分涂色、纵向等分涂色的过程，对结果中分子和分母的由来已经有了更深层次的认识，为后面算理的理解积累了丰富的感性经验。经历两道算式的画图过程，学生已经由直观感知循序渐进到直观理解，思维也向纵深处发展。

【教学片段】

教师请学生自主举例，画图验证计算结果并进行交流。

学生：老师，我写的分数是×，该怎么画图证明结果呢？

学生：我觉得可以标得再清楚一点。整个大长方形被平均分成了5行53列，5×53等于265份，涂色部分一共是2行51列，51×2等于102份。

教师：现在你知道分数乘分数的计算方法了吗？

学生：分母乘分母做分母，分子乘分子做分子。

【思考】

教师放手，让学生自主举例，这样做给予了学生更加开放的研究空间，也让学生充分经历了自主表征的过程。有学生列举的分数分子和分母较大，此时已经无法在图中完全表示出计算结果，激发了直观表征手段和分数乘法意义之间的冲突。有冲突才有改变，有撕裂才有创新，有学生就想到可以利用省略号，部分显化，部分隐藏。这种半直观化的表征方式，是学生思维经历“抽象一直观一抽象”的过程，也是直观理解的体现。

（二）直观洞察：显化数学思考，深刻理解算理

教师：你能说一说为什么分母乘分母作为分母，分子乘分子作为分子吗？

学生1：分母乘分母，相当于分了又分的过程，分子乘分子相当于取了又取的过程。

学生2：分母乘分母，是算出把大长方形一共平均分成了几份，分子乘分子，是算出一共涂色表示了多少份。

教师：你能结合×这道算式说一说为什么吗？

学生3（边画图边说）：表示把长方形平均分成a行，涂色表示这样的b行。表示把涂色的b份平均分成c列，涂色表示这样的d列。所以，最后长方形一共平均分成了a行c列，共axe份，涂色部分是这样的b行d列，共b～d份，所以a和c的乘积作为分母，b和d的乘积作为分子。

【思考】

学生充分经历结合直观表征分数乘分数意义的过程，积累了丰富的直观经验，并形成了相关几何表象，独具个性化的“a行c列，b行d列”外显学生思维过程，动态展现学生思维的深刻程度。无论是动手画图还是在脑海想象，抽象出算理并个性化解读的过程就是直观洞察的体现。也许，这节课中，直观洞察并不是那么“突然”，没有“豁然开朗”的顿悟，没有“天马星空”的跳跃，但是从无到有，从懵懂到理解，学生一步步从直观感知迈向直观理解，再朝直观洞察深入，最终理解算理，这才是我们立于课堂的追求。

康德说：“人类的一切知识都是从直观开始的，从那里进到概念，而以理念结束。”几何直观的介人为学生认识数学提供了有力的指引，我们需要做的，只是一层一层揭开几何直观外面的神秘面纱，让学生在可承受范围内，理解、接受、运用它。立足课堂，解构几何直观，追寻思维本质，我们一直在路上！

（责编：侯芳）