基于模式识别下等腰三角形的分类讨论

何风强

摘要：分类讨论思想是一种将研究的问题根据题目的特点和要求，分成若干个小问题来逐一研究解决的数学思想。在数学习题的解决中，运用等腰三角形的分类讨论思想也是比较常见的，而从等腰三角形边的角度进行分类讨论，对于在模式识别下解决等腰三角形的存在性与确定性问题是起关键性作用的。

关键词：模式识别;等腰三角形;分类讨论;解题

在平时数学教学中，我发现学生在学习等腰三角形的分类讨论问题时，存在一定的困惑，即在一条已知直线上，如何确定一点和与该直线不共线的一条线段的两端点构成等腰三角形。为了让更多的学习者能更深入地理解并掌握此类问题的解决方法，我将从一道数学习题的解析展开研究，进而确定“等腰三角形按边分类讨论”的一种模式，再结合典型例題进行模式识别和模式的应用。所谓模式识别，就是当主体接触到数学问题后，首先要辨别题目的类型和所给条件，再结合已有知识和经验，将问题分解归类，从而产生摩擦，最终生成新问题的解决方法。

一、“等腰三角形按边分类讨论”模式的构建

例1如图1，已知线段AB，在直线CD（与线段AB不共线）上找一点P，使得AABP为等腰三角形。

解析：因为要使AABP为等腰三角形，即从边的分类讨论有三种情况：①AB=AP;②AB=BP;③AP=BP。找出符合题意的点P如下：①如图2，以点A为圆心，AB长为半径画圆（弧）交直线CD于点P，连接AP和BP，此时AB=AP，即AABP为等腰三角形;②如图3，以点B为圆心，AB长为半径画圆（弧）交直线CD于点P，连接AP和BP，此时AB=BP，即AABP为等腰三角形;③如图4，分别以点A、B为圆心，AB长（或大于1/2AB长）为半径画圆（弧）交于E、F两点，并过E、F作直线EF（即为线段AB的垂直平分线）交直线CD于点P，连接AP和BP，此时AP=BP，即AABP为等腰三角形。

在例1中，从等腰三角形的定义入手，结合分类讨论思想，易知有三种情况，即三角形的任意两边相等，然后考虑找出符合题意的点P，图2和图3结合画圆或弧交直线CD于点P，利用半径的相等性构造等腰三角形，而图4是作线段AB的垂直平分线交直线CD于点P，并利用垂直平分线性质构造等腰三角形。

因此，我通过例1构建了“等腰三角形按边分类讨论”模式，即任意两边相等的三角形是等腰三角形，分三种情况进行考虑研究，而找出等腰三角形的第三个顶点的做法是画圆（弧）法和作垂直平分线法。

二、从模式的构建，再到模式的识别

例2是对“等腰三角形按边分类讨论”模式的直接识别，虽然问题情境是三角形，但找出点P的方法是一样的，由三角形任意两边相等构成等腰三角形进行分类讨论，依旧是存在三种情况，对于作图之后的问题解决就思路清晰了，从中我们还可以提炼出三种解题依据或方法，第一种是根据等腰三角形的“三线合一”求解，第二种是根据“等量代换”直接求解，第三种是根据“勾股定理”求解，此三种解题方法也是后续解决此类问题的突破性方法。

思考题：在平面直角坐标系中，四边形0ABC为长方形，O为坐标原点，A（10，0），C（0，4），点D是OA的中点，点P在线段BC上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，求点P的坐标。（此题仅作思考）

解：略。

只要我们能善于识别出这个“等腰三角形按边分类讨论”的模式，并灵活应用到几何解题中，那么就一定能顺利而且有效地解决此类问题。同样，我也希望通过对这种识别方法的阐述与应用能对学习者有所启发，模式只是提供了一种相对稳定的样本，既非万能又非一成不变，当遇到一个新的、更深刻或非常规的问题时，我们需要转化或者分解问题，还需要对模式加以补充，创造出更多或更高层次的模式，逐渐进入得心应手的境界。

最后，我想借张奠宙先生的一段话来结尾，即：“欣赏外表直观之秀，内涵深刻之慧，文化底蕴之浓，理性思考之精，也许这就是数学欣赏的普遍规律。”

（责编：侯芳）