融入游戏精神　建构智性课堂

2019-09-10刘爱东

辽宁教育·教研版 2019年10期

摘要：受教科书上关于“方程”定义的影响，很多教师在教学“方程的意义”一课中让学生理解方程时往往不够全面。教学中，应结合求解未知数的过程，让学生了解方程概念的本质。可从教科书上的定义出发，融入游戏精神，智性重构课堂教学，引导学生学生在与算术方法的比较中，重历小学一到四年级方程的学习过程，从而感悟方程的本质。

关键词：方程;本质;过程;游戏精神;智性;课堂

“方程的意义”的教学内容，人教版教科书和苏教版教科书分别安排在五年级上学期和五年级下学期，这是基于学生已有“含有字母的式子”的学习经验而定的。关于方程，教科书的定义是这样的：“含有未知数的等式叫做方程。”教学中，教师通常会抓住“未知数”和“等式”这两个词语，引导学生去理解方程。事实上，这样的定义是从英文equation翻译过来的，equation的本意是“等式”。而在我国，“方程”一词早在《九章算术》中就出现了。“方”是指解题时把算筹摆得方方正正，“程” 是指程式，连起来就是把算筹摆得方方正正，用程式化的方法求出未知数的值。

英文表述重在形式上建立相等关系，我国古代重在求解未知数的过程，只有两方面相结合才是方程概念的本质所在。可见，教科书上的定义具有明显的不足，一是容易和字母公式及函数相混淆，字母公式和函数也是含有未知数的等式;二是没有凸显求未知数这一特征，导致出现诸如x=5、76-35=x等究竟是不是方程的困惑。据此，有专家从方程的本质出发，提出了“方程是为了寻求未知数，在未知数和已知数之间建立的等式关系”。

我们从教科书上的定义出发，融入数学游戏精神，智性重构课堂教学，引导在于“把未知数用字母来表示，再把字母当作已知数参与列式，这种含有未知数的等式就叫做方程”，从而使学生在愉悦的数学情境、深入的数学思考中思维能力得到不断地提升。

一、先学交流，初识方程之形

师：出示先学单。

师：课前，同学们已经围绕先学单上问题进行了先學，接下来，请以小组为单位，交流先学单上的4个问题。

（小组交流）

师：为了检查大家学习的效果，我们直接进入第4题。谁愿意到黑板上写一道方程？

（学生上黑板板书：x-50=100）

师：想听听大家想法吗？问问大家，你写的是不是方程？

生：我写的是方程吗？为什么？

生：你写的是方程，因为这个式子是含有未知数的等式。

师：刚才那位同学的话，其实已经回答了先学单上的哪一个问题？

生：什么是方程？

师：对，我们把这句话记下来。（板书：含有未知数的等式）

师：关于这句话，什么问题要问的吗？

生：什么是未知数？（板书：未知数）

生：就是不知道的数，比如说老师的年龄我不知道，所以是个未知数。

师：这个世界上的未知数太多了，跟未知数相对的应该还有一个。

生（异口同声）：已知数。（板书：已知数）

师：谁也来举个例子。

生：我们班有45名同学，45就是一个已知数。

师：真棒，如果老师告诉你，老师今年40岁，那老师的年龄还是一个未知数吗？

生：不是了，是一个已知数。

师：看来，在未知数和已知数之间，是可以建立一种关系的。在已有板书“已知数”和“未知数”之间可以画上“——”。

师：还能提出什么问题？

生：什么是等式？

生：就是用等号连起来的式子，比如50+50=

100。

师：你们觉得，跟等式相对的还会有什么式子？请举个例子。

生：不等式，比如50+x>100，50+40<100。

师：看来，要满足是方程的话，必须符合几个条件？

生：两个条件，首先要是等式，还必须要含有未知数。

学生已经学过含有字母的式子，而且通过许多途径早就知道了方程这一常见的数学述语，教科书上的例题自学也不难，因此，教学中没有必要遮遮掩掩。让学生在先学中初步感知方程，并在小组交流、全班分享中，在比较中明确未知数和已知数、等式和不等式的概念，有利于加深对方程概念的认识。从学生的反馈中可以看出，学生对于方程只是浮于表面的理解，所举的例子也是教科书例子的翻版，因此，有必要在此基础上引导学生更为深入地理解方程本质。

二、经历过程，深化方程内涵

（一）算术列式，体会倒推解题方法

师：其实，从一年级起，方程就一直伴随着我们。老师找了几道1到4年级学过的题目，我们先用原来的方法很快地完成。

屏幕出示图1：

（学生独立完成，小组交流后，指名上黑板板书。）

生（板书）：（1）100-40=60（克）;

（2）20÷4=5（克）;

（3）（800-300）÷5=100（毫升）;

（4）（124+10）÷2-4=63（元）;（124+10-4）÷2=65（元）。

（二）比较择优，感悟方程核心价值

1.加法方程

师：先请做一年级题目的同学说说，你是怎么想的？

生：我是用钢笔和铅笔一共的克数100，减去一块橡皮的克数40，就得到一支钢笔的克数，列式是100-40=60（克）。

师：他不仅说出了怎么算，还说出了算理。如果一年级的一个小朋友，不会这样列式，他就顺着题目说的顺序列式。（板书： + 40 =100）

师：他想到60跟40合起来是100，就写成了60+40=100，这样列式可以吗？

生：不可以，搞不清楚到底哪个数才是算出来的结果。

师：谁能帮帮他？（根据学生回答，相机板书：橡皮、？、□、△……）

师：真了不起，想到了这么多符号表示未知数。不过，符号太多就乱套了，于是，数学家们想到了统一用字母x、y、z来表示未知数。在这里，我们就用x来表示，好吗？（擦去其他符号，只留下x）

师：咦，这个方法不就是方程吗？如果橡皮的重量也不知道，你还会列方程吗？

生：x+y=100。

师：为什么不写成x+x=100呢？

生：因为钢笔和橡皮不一样，所以要用不同的字母表示。

2.乘法方程

师：请做二年级题目的同学说说他的想法。

生：4个U盘重20克，所以用20÷4=5（克）求出一个U盘的重量。

师：如果另一位二年级的同学还是不会倒着想，你觉得他会怎么列式？

生： 4x=20。

生：x+x+x+x=20。

师：这两种你们更喜欢哪一种？

生：第一种，因为第一種更加简洁。

生：我写的是20=4x，这样可以吗？

生：我觉得这也是可以的，而且这是顺着题目意思写的最省力的式子了。

3.两步方程

师：轮到做三年级题目的同学了。

生：我是这么想的，用800毫升减去一个大杯倒去的300毫升，剩下的毫升数除以5就得到每个小杯的毫升数了，列式是（800-300）÷5=100（毫升）。

师：思路很清晰。假如你是另一位同学，你会怎么列方程？

生：根据5个小杯和1个大杯一共装800毫升果汁，列出方程5x+300=800。

生：我列的跟你不一样，800-5x=300。

生：还可以列出800-300=5x。

师：同一个情境，列出了不同的方程，掌声送给这三位同学。老师有两个问题，一是这里没有天平，你们怎么还能列方程？

生：从下面的大括号上可以看出，小杯容量和大杯容量合起来是800毫升，它们之间是相等关系，所以能列成方程。

师：说得很到位！可见，列方程最关键的是找什么？

生：关键是找出等量关系，“正好”两个字也说明它们之间是相等的。

师：很好！第二个问题是，能不能把方程列成x+300=800？

生：不可以，5个小杯的容量要用5个x，而1个x只能表示1个小杯的容量。

生：可以的，用x表示全部小杯的容量，它和大杯的300毫升合起来就是800毫升。

生：x+300=800一会儿错，一会儿又对，这个x是不是很乱呀？

师：那怎么做才能让其他人一看就明白你这个x表示的是什么？

生：列方程前要先写说清楚x表示的是什么就不乱了。

4.稍复杂方程

师：一起看四年级的题目，同一道题怎么出现两个不同答案了？到底哪一种是正确的呢？

生：（124+10-4）÷2=65（元）是对的。

师：这里的条件比较多，要一步一步倒着想，的确是有点难度的。我看到还有好几位都不知道从哪里入手。我们再试试用另一位同学的方法列式，看看行不行？

生：把一张儿童票的价格看作x元，儿童票价格的2倍多4元用2x+4表示，一张成人票的价格124再加10元用124+10表示，列式是2x+4=124+10。

师：现在，我们再把原来学的方法和方程比一比，你有什么想说的？

生：当数量关系比较多时，用方程列式比较简单。

布鲁纳认为，学习一门学科，就是掌握这门学科的基本结构。数学本身就是结构性很强的学科，通过创设丰富的问题情境，引导学生置身于解决四个不同年级具体问题的过程中，在代数思维与算术思维的大碰撞中，学生原有的思维方式不断受到挑战。渐渐地，学生感悟到：原来，未知数也可以看作已知数参与到列式中来，两者可以平等地参与运算;在比较复杂的数学情境中，有时方程思想因为是顺着想，反而要比算术方法更为简单。在四次对比建构、在变与不变、未知与已知、倒推与顺着想之间，原有的思维定式被打破，方程的思想悄悄融入了学生的思维。

三、归纳提炼，把握建模本质

（一）比较归纳，提炼特征

师：学到这里，我们不妨回过头来理一理，刚才我们都是怎么发现方程的？

生：先把题目里的未知数用字母表示，看作已知数，再顺着题目的意思找出等量关系，最后根据等量关系列出方程。（板书：等量）

师：说得多好呀，掌声送给他。以四年级的题目为例，说说相比于以前的算术方法，方程有什么好处？

生：对那些原来倒着想的题目，学会了方程后，只要顺着想就行，列式不用多想，简单又不容易错。

师：列方程的目的是什么呀？

生：是为了求出这个未知数到底是多少。（板书：为了寻求未知数）

（二）深化模型，拓展提升

屏幕依次出示图2中的三个题目：

学生口答，均列出方程4x=240。

师：三个问题各不相同，却列出了相同的方程，这是为什么呢？