基于ARIMA模型的中国人口预测
2019-09-10赵子铭
赵子铭
摘要:以我国1949—2017年人口总数为研究对象,利用时间序列方法及不同检验、最优化方法建立ARIMA模型,并用于预测2019年我国人口总数.通过AIC系数比较、白噪声检验,可以认为ARIMA(1,2,1)模型能够较好拟合我国成立至今的人口趋势.结果显示:我国人口数在1949年起不断攀升,并仍将在未来保持稳定的增速扩张;预测我国2019年及2020年的人口总数分别为140453.6048、141162.1572万人.
关键词:人口预测;ARIMA模型;纯随机序列检验
中图分类号:O212 文献标识码:A 文章编号:1673-260X(2019)09-0010-03
1 引言
人口总量指一国在某一时间点上的人口总数.利用数据探究一国人口总数的变化趋势、预测人口总量的变化对于民生政策、經济政策具有重要意义.本文选择使用中国自成立至2017年的年人口总数作为研究对象,旨在建立特定模型对我国人口增长趋势进行模型解释,并对我国未来人口数量进行合理的预测.由于人口数是存量的时间序列指标,因此尝试使用ARIMA模型对人口序列进行拟合.
ARIMA模型全称为求和自回归移动平均模型,是拟合、预测时间序列数据的重要模型之一.由于差分能够较好地提取确定性趋势,因此ARIMA模型经常被用于拟合非平稳时间序列.ARIMA(p,d,q)模型共有3个参数,其中p代表模型的AR(自回归)阶数,q代表模型的MA(移动平均)阶数,而d代表序列的差分阶数.其数学表达式如下:
其中1-iLi代表ARIMA模型中自回归项系数,1+?兹iLi代表ARIMA模型中移动平均项系数,(1-L)d代表差分阶数,其中L代表延迟算子.根据上述理论,使用中国1949—2017年人口总数序列进行ARIMA(p,d,q)模型的构建.
2 基于ARIMA模型的中国人口序列预测
由于人口数量是典型的存量指标,所以一般是二阶单整的,即在经过二次差分之后,该序列会由非平稳序列转换为平稳序列.因此引入ARIMA模型,初定差分的阶数为二阶.[1]
构建ARIMA模型是一个比较繁琐的过程,建模步骤可以分为以下几步:
通过ADF检验判断该序列的单整阶数d;
确定序列的准确差分阶数d后,通过Q统计量检验判断差分序列是否是纯随机序列.
(1)如果该序列通过Q统计量检验,则意味着该序列是纯随机序列,每一期的值是完全独立不相关的,则不存在继续建模和预测的意义;
(2)如果该序列不是纯随机序列,则我们可以继续ARIMA模型的构建;
若差分后序列不是纯随机序列,则判断差分后的序列自相关系数是否拖尾或在q阶截尾.
(1)如果该序列在q阶截尾,则可以确定其ARIMA模型中MA(也即移动平均项)的阶数为q;
(2)若其拖尾,则阶数为0;
观察其偏自相关系数是否拖尾或存在p阶截尾.
(1)如果该序列在p阶截尾,则可以确定ARIMA模型中AR(也即自回归项)的阶数为p;
(2)若其拖尾,则阶数为0;
通过上述分析得出ARIMA模型的三个系数:p,d,q,并以此为依据建立ARIMA(p,d,q)模型;
对模型进行AIC系数比较、纯随机序列检验及显著性检验,判断模型对原序列的拟合是否良好;
利用模型对我国人口进行预测.[2]
2.1 确定单整阶数
本文使用Eviews软件对人口时间序列进行ADF检验及后续建模、检验.这里使用ADF检验判断人口序列的单整阶数.ADF检验的3个模型如下:
ΔXt=δXt-1+∑βiΔXt-i+εt(None)
ΔXt=α+δXt-1+∑βiΔXt-i+εt(Intercept)
ΔXt=α+βt+δXt-1+∑βiΔXt-i+εt(Trend and Intercept)
其中∑βiΔXt-i代表高阶项,α代表常数项随机性趋势,时间项t代表确定性趋势.在实际检验中,只要时间序列在上述3种模型中的任意一种中检验被认为不存在单位根,则可证明序列是平稳过程.由于时间序列平稳的性质各不相同,故ADF检验和DF检验的原假设均为:H0:时间序列存在单位根.
先前讨论指出,人口序列为典型的存量序列,故应为2阶单证序列.实验证明:在0阶、1阶差分下,人口序列均不能通过ADF检验,即至少含有1个单位根.因此对其进行2阶差分,并再次进行ADF检验.结果如下表所示:
从ADF检验的伴随概率可以看出,在二阶差分情况下,人口序列可以被认为是平稳序列,即ARIMA模型中的差分项d=2.
2.2 纯随机序列检验
利用Q统计量检验对人口二阶差分序列进行纯随机序列的检验.Q统计量检验也即序列自相关检验,自相关检验的原理是通过检验时间序列及其k阶滞后序列的相关程度,判断时间序列的历史数据是否存在某种相关联系.随机时间序列的自相关函数为:[4]
其中:γk=cov(Xt,Xt+k),γ0=cov(Xt,Xt).分子代表滞后k期的时间序列协方差,分母代表时间序列的方差.如果ρk=0对任意k>0都成立,那么可以认为时间序列不存在自相关性.(此为原假设).通过构造QLB统计量对时间序列自相关性进行检验,具体统计量的建立如下:
rk为样本自相关函数.统计量近似服从自由度为m的χ2分布(其中m为滞后期数).若Q值大于显著性水平的临界值,则拒绝所有rk同时为零的假设,即时间序列具有自相关性.
对二阶差分后的人口序列进行上述检验,结果如下图所示:
由于任意滞后阶数下,人口二阶差分序列Q统计量检验的伴随概率均显著为0,因此拒绝其是纯随机序列的假设,可以认为该序列不是纯随机序列,后续ARIMA模型建模具有了理论支撑及现实意义.
2.3 判断序列p、q阶数
通过观察二阶差分序列的自相关系数、偏相关系数的截尾性选择合适的ARMA模型p、q阶数.利用Python生成二阶差分后的人口序列进行自相关系数、偏自相关系数的可视化图,如下所示:[5]
從图中可以看出,该序列的自相关系数和偏自相关系数均在1阶滞后后迅速降至0附近,因此可以认为该模型的p、q值均为1,也即:该序列的AR项滞后系数为1,MA项滞后系数也为1.
2.4 构建人口序列ARIMA(1,2,1)模型
通过上述4节分析,可以确定人口序列模型的自回归项、差分项、移动平均项的项数分别为:1,2,1.据此,通过Eviews建立人口序列的ARIMA(1,2,1)模型.
注意到人口序列的ARIMA(1,2,1)模型等价于二阶差分后的人口序列的ARMA(1,1)模型,所以可以直接对二阶差分后的人口序列进行ARMA模型的构建.构建出的模型结果如下:
结果显示,使用极大似然估计拟合ARMA模型的参数结果中:
C、AR(1)、MA(1)的t值均小于0.05,通过了显著性检验;残差序列在经过短暂的震荡后进入二倍标准差范围中,显示出良好的拟合效果;
模型的AIC函数为14.9475;
模型的最终形式为:
X=-4.4849+0.5084X+ε-0.61960ε
2.5 基于ARIMA(1,2,1)模型的人口预测
根据上节构建的模型对我国2018年—2020年人口总数进行预测,预测结果如下:
图中三角标志表示人口数的原始值,×号代表模型计算得出的预测值.结果认为:模型预测值与原始值相近,模型拟合效果良好;模型对于2018年、2019年及2020年的人口总数预测为:(单位:万人)139735.5451、140453.6048、141162.1572万人.
3 结论
本文通过建立ARIMA(1,2,1)模型对我国1949 —2017年人口总数进行了拟合、预测.ARIMA(1,2,1)模型通过了系数、模型显著性检验,且残差项均处于2倍标准差内,对我国人口总数序列的拟合程度较好.预测认为我国2019年及2020年的人口总数分别为140453.6048、141162.1572万人.
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参考文献:
〔1〕陈艳玫,刘子锋,李贤德,黄奕祥.2015—2050年中国人口老龄化趋势与老年人口预测[J].中国社会医学杂志,2018,35(05):480-483.
〔2〕赵华,薛红艳.基于ARIMA模型的河北省人口预测[J].时代金融,2013(24):125-126.
〔3〕唐宇,余娇娇.重庆市人口预测与发展趋势分析[J].现代商贸工业,2019,40(23):4-8.
〔4〕陈艳玫,刘子锋,李贤德,黄奕祥.2015—2050年中国人口老龄化趋势与老年人口预测[J].中国社会医学杂志,2018,35(05):480-483.
〔5〕韩绍庭,周雨欣.多元线性回归与ARIMA在中国人口预测中的比较研究[J].中国管理信息化,2014,17(22):100-103.