“研究型教学”指导下的“离散型随机变量及其分布列”教学设计

孙军波

摘要：使用“高中数学研究型教学”的ADE设计模型和“五环十步”教学模式指导“离散型随机变量及其分布列”的教学设计。基于前期的学习内容分析和学生认知分析，设计了教学目标和教学过程，引导学生立足彩票等具体实例，探索为什么要将随机试验的结果数量化;又立足掷骰子和抛硬币这两个基本试验，探索如何将随机事件的结果数量化;进而通过一些从简单到复杂的问题的解决，探索如何利用随机变量方便、深入地研究随机现象。

关键词：研究型教学ADE设计模型“五环十步”教学模式离散型随机变量及其分布列

李昌官老师提出的“高中数学研究型教学”，指导教师根据前期的学习内容分析和学生认知分析，从研究数学问题的角度，基于“问题的提出→方法的寻找→知识的提炼→问题的解决→课后的拓展”这一大致思路（框架）设计课堂教学，带着学生以研究的姿态和方式学习数学的知识与方法。其ADE设计模型和“五环十步”教学模式使教学设计有据可循，而灵活运用它们可以提高课堂教学效益。笔者使用ADE设计模型和“五环十步”教学模式指导了“离散型随机变量及其分布列”的教学设计，并在“浙派名师”高中数学名师班的一次教研活动中进行了实践，取得了不错的效果。具体的教学设计如下：

一、前期分析准备

（一）学习内容分析

1.知识产生的背景与固着点分析。

随机事件的研究以及期望的计算是随机变量概念产生的背景。概率源自欧洲的“分赌注问题”：两人决定赌若干局，中途因故停止赌博，应如何分赌注？问题的实质是计算每个参与者的盈利期望。随着研究的深入，随机试验的结果不一定是数字，所以需要将随机事件数量化，进而实现不同概率模型的统一，方便数学期望等数字特征的计算。所以，数学期望的研究是随机变量概念产生的固着点。

2.知识生长的过程与阶段分析。

随着对随机现象研究的深入，数学家们发现随机变量的实质是随机试验结果（即随机事件）和实数之间的一个对应关系，这与数学分析中函数的概念本质上是一样的。数学家们还把随着随机试验结果的变化而变化的随机变量大致地分为离散型随机变量和连续型随机变量，并引进了概率分布函数，全面地描述随机变量的统计规律。

3.知识建构的策略与方法分析。

随机变量概念建构的主要策略与方法有三个：一是基于生活进行探究，即从生活中的随机现象出发，探究随机变量产生的背景和意义;二是利用函数思想，因为映射是随机变量定义的关键，把随机试验的结果数量化，利用随机变量表示随机试验的结果，就可以更好地利用数学工具研究随机现象;三是利用建模的观点看待随机变量的建立。

4.知识间的联系与结构分析。

随机变量和函数之间有紧密的联系：都属于映射。也有一些不同：前者是随机试验结果和实数的一一对应（高中阶段的离散型随机变量要求一一对应）;后者是实数和实数之间的对应，可以是“一对一”或“多对一”。

5.知识的要点与本质分析。

随机变量是随着随机试验结果的变化而变化的实数，可以看作定义域是样本空间Ω（即随机试验所有可能的结果的集合），值域是实数集R的子集的函数ξ=ξ（ω）（高中阶段的离散型随机变量一般只取有限个或可列个值）。随机变量概念其实是利用函数思想解决现实问题的经典范例：通过数量化把非函数问题转化为函数问题，这在数学研究乃至一般性的问题研究中都是极为重要的。

6.知识的学科意义与教学价值分析。

随机变量使得随机事件的表达形式更为简洁。另外，用数表示试验结果还具有更深层的优越性：可以研究随机变量的概率分布问题，即全面地研究随机试验所有可能的结果及其对应概率的规律，不再局限于之前孤立地研究个别事件的概率。这使概率问题的研究进入了一个精确、全面和科学的阶段。

（二）学生认知分析

1.学生认知基础分析。

学生在小学、初中阶段对概率和统计有一定的认识，在高中阶段也学过随机事件的概率，这为本节课的探究学习奠定了基础。同时，学生了解函数、映射等概念，具有将随机变量和函数、映射进行联系的基础。

2.学生认知障碍分析。

学生不太容易理解将随机试验结果数量化的必要性，与生活实际相结合存在难度，表现在从生活实际中举出一些随机变量的例子时出现障碍。另外，学生理解离散型随机变量中的数学语言“一一列出”存在难度，相应地，就难以理解连续型随机变量的概念。因为随机变量与函数的联系是难点，所以，学生对引入随机变量概率分布列的必要性更是存在认知障碍。

3.克服障碍的措施分析。

教师可以借助生活中的例子，帮助学生理解随机变量的概念;可以通过比较概念，帮助学生直观感受随机变量与函数的关系，不必在课堂上过度强调，以免影响学生对随机变量概念的理解。由于随机概念本身就很复杂，教学中可以淡化数学知识的严密性，例如对“一一列出”“连续型随机变量”等概念，学生能有正确的感性认识即可。而引入离散型随机变量分布列的必要性可以留给学生课后思考，教学中要注意前后知识的溝通，使所学知识成为一个有机整体。

二、教学目标设计

1.通过彩票等具体实例，体会引入随机变量的意义和价值，了解离散型随机变量的概念，尝试用数学的眼光看待生活问题。

2.通过掷骰子和抛硬币这两个基本试验，经历和理解将随机试验的结果数量化的过程与方法，感受抽象概括的过程与方法。

3.通过一些从简单到复杂的问题的解决，理解随机变量的作用，了解离散型随机变量分布列及其数字特征（主要是均值），体会把概率问题通过数量化转化为函数问题，经历建立数学模型的过程，欣赏数学模型的价值。

三、教学过程设计

（一）呈现背景，提出问题

背景1“双色球”“15选5”“大乐透”三种彩票中一等奖概率分别为168352768、13003、121425712。如果仅考虑中一等奖的概率，买“15选5”彩票为佳，但实际上，人们更喜欢买其他两种彩票。为什么人们在知道中奖概率的情况下，仍然坚持买其他两种中奖概率较低的彩票呢？

背景2射击选手的射击成绩具有随机性，如何选择优秀的运动员代表国家参加比赛？

分析不同的概率模型有什么共同的特点？如何建立统一的概率模型进行后续的研究？这就需要了解、学习一些新的知识，首先是尝试将随机试验的结果数量化，为概率模型的统一奠定基础。

核心问题如何将随机试验的结果数量化，以更方便、更深入地研究概率现象？

[设计说明：通过具体实例，学生能够体会到买彩票不仅要考虑中一等奖的概率，还要考虑一等奖对应的奖金，因此将随机试验的结果数量化，才能进行更好的比较。结合射击选手选拔问题，学生可以感受到不同的概率问题之间存在共同的特点，都需要考虑随机试验结果的数量化。]

（二）联想激活，寻求方法

问题1投掷一枚质地均匀的骰子，试验结果可否用数来表示？

问题2抛掷一枚质地均匀的硬币，试验结果可否用数来表示？

分析投掷一枚质地均匀的骰子，可能出现的结果为一点、二点……六点，对应数字为1，2，…，6，因此，如果随机试验的结果带有数字特征，一般可以考虑利用这些数字表示相应的结果。抛掷一枚硬币，可能出现的结果为正面向上、反面向上，虽然不是数字，但是可以分别利用数字1和0来表示。

[设计说明：从学生熟悉的掷骰子、抛硬币入手，寻找随机试验结果数量化的办法，特别是如何将没有数字特征的随机试验结果数量化。]

（三）归纳抽象，分析概念

归纳在这种对应关系下，数字随着随机试验结果的变化而变化。像这种随着随机试验结果变化而变化的变量称为随机变量，常用字母X、ξ等表示。所有取值可以一一列出的随机变量称为离散型随机变量。

说明本章研究的离散型随机变量只取有限个值。

问题3随机变量和函数有没有什么类似的地方？

分析随机变量和函数都是映射，随机变量把随机试验的结果映射为实数，函数把实数映射为实数。随机试验结果的范围相当于函数的定义域，随机变量的取值范围相当于函数的值域。

问题4请你举出一些生活中的随机变量的例子，并判断是离散型还是连续型随机变量。

[设计说明：立足生活情境，抽象出随机变量的概念。通过对比随机变量和函数，揭示随机变量的本质，也为后续运用函数思想解决概率问题做铺垫。]

（四）运用巩固，内化迁移

问题5在含有10件次品的100件产品中任意抽取4件，含有的次品件数X随着抽取结果的变化而变化。问：

（1）X的取值范围是什么？

（2）{X=0}表示什么事件？

（3）{X<3}表示什么事件？

問题6投掷一枚质地均匀的硬币2次。

（1）设Xi=1，第i次出现正面，

0，第i次出现反面。令X=X1+X2，那么X的实际含义是什么？

（2）设Xi=1，第i次出现正面，

-1，第i次出现反面。那么出现正面的次数用X=X1+X2如何表示？

[设计说明：通过使用随机变量的语言描述解决问题，体会随机变量在表示随机试验的结果上显得简洁，理解应该选择那些简单且有实际意义的随机变量来表示随机试验的结果，为后续随机变量数字特征的研究奠定基础。]

问题7投掷一枚质地均匀的硬币3次，如何选择随机变量X来表示试验的结果？

分析根据投掷1次时规定正面向上为1，反面向上为0，可设X=0，三次反面，

1，一正两反，

2，两正一反，

3，三次正面。

追问概率P（X=0）、P（X=1）、P（X=2）、P（X=3）分别是多少？

分析利用古典概型可以推出P（X=0）=18，P（X=1）=38，P（X=2）=38，P（X=3）=18。

追问能够验证这个结果吗？可以借助计算机进行模拟试验。

活动用Excel软件的RANDBETWEEN（0，1）功能进行模拟试验，结果如下页表1所示。

明确模拟试验的结果验证了利用古典概型推出的概率。我们将随机变量X及对应的概率列在一张表中，可得下页表2。表2称为随机变量X的概率分布，简称X的分布列。

归纳一般地，设离散型随机变量X可能取的值为x1，x2，…，xn，X取每一个值xi（i=1，2，…，n）的概率为P（X=xi）=pi，则称表3为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列。

（五）回顾反思，拓展问题

问题8为什么要建立随机变量的概念？随机变量概念是通过怎样的过程与方法建立的？它和函数有什么联系和区别？什么是离散型随机变量的分布列？

问题9课后，可以尝试调查彩票“双色球”“15选5”“大乐透”。根据随机变量的知识，尝试定义它们各自的随机变量X并写出概率分布列，通过电脑模拟推测相应的中奖概率，尝试计算一张彩票的平均盈利并比较，最后写出引入概率分布列的作用可能有哪些。

[设计说明：问题8引导学生明确，把随机试验的结果数量化，用随机变量表示随机试验的结果，就可以利用数学工具更方便、更深入地研究随机现象。问题9让学生充分体会引入离散型随机变量分布列的必要性，并为本单元后续学习几个重要的离散型随机变量及其分布列，以及离散型随机变量的均值与方差做铺垫。]

参考文献：

[1] 李昌官.高中数学研究型教学[M].上海：华东师范大学出版社，2019.

[2] 李昌官.高中数学研究型教学实践与探索[J].课程·教材·教法，2018（1）.