从几何直观走向逻辑推理

叶春萍

【摘要】  几何直观是学生必备的几何素养，是诱发学生创造能力的潜在因素。如何提高学生的几何直观水平，使与现有知觉水平一致，是目前数学学科教育亟待突破的瓶颈。“几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习中都发挥着重要的作用。”

【关键词】  几何直观 识图能力 逻辑推理 题组变图

【中图分类号】  G633.6             【文献标识码】  A   【文章编号】  1992-7711（2019）09-073-02

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几何直观是学生必备的几何素养，是诱发学生创造能力的潜在因素。如何提高学生的几何直观水平，使与现有知觉水平一致，是目前数学学科教育亟待突破的瓶颈。“几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习中都发挥着重要的作用。”

几何直观与逻辑、推理是不可分的。几何直观是由逻辑支撑的能力，不仅是看到什么，而且是通过看到的图形思考了什么，想象了什么，这是数学学习中非常重要的思考方式。几何直观会把看到的与以前学到的结合起来，通过思考、想象，猜想出一些可能的结论和论证思路，这就是归纳推理。

巧妙的构造可以建立已知与未知、条件与结论、数与形的体系，构造图形解决问题体现的几何直观能力，这种能力是学生需要具备的重要能力之一，几何直观能力的培养贯穿于整个初等数学教学中。教学实践表明，有效培养学生的几何直观能力可以从以下几个方面入手：

一、借助几何图形，培养识图能力

图形是学习数学知识的重要载体，培养识图能力是培养几何直观的基础。在教学中，教师应引导学生理解并掌握各种数学符号所表示的数量关系及含义，能敏锐地从图形中获取相关信息。培养识图能力，有助于学生借助图形提高分析解决数学问题的能力。

例1：学习一次函数y=kx+b，应先弄懂k、b的意义。在实际问题中k代表汽车一小时行驶k千米，蜡烛一分钟燃烧k厘米，摩托车一小时耗油k升等等。初中学生受年龄特点与认知水平的影响，可理解为：k指x增长1时y的变化;b在实际问题中指汽车原来距出发点b千米，蜡烛原长bcm，油箱里原有汽油b升等等，抽象出来的意义可理解为：x为0时y的值，其对应到图象上的几何意义如下：

k、b的值是能“看”得见的，如图1：当k<0时，直线从左向右走“下坡路”，得性质：当k<0时，y随x的增大而减小;如图2：当k>0时，直线从左向右走“上坡路”，得性质：当k>0时，y随x的增大而增大。如果学生只是机械记忆函数的性质，不但容易混淆，而且还不利于应用。在教学过程中，我们可充分利于函数图象，帮助学生把熟知的文字语言、符号语言和图形语言融合为一体，把抽象的字母直观化，从而有利于函数性质的探索和掌握。

教学中，教师应充分利用数形结合，引导学生经历由数到形，由形到数的思考活动，提高识图能力，为培养几何直观能力打下坚实的基础。

二、由几何直观趋向逻辑化

当今数学问题的解决理论研究强调“信念系统”在问题解决过程中的重大作用，即情感逻辑化作用。而积极的问题情感来自于内在动机和美的直觉，直覺思维经验与几何直观呈正相关，需要借助抽象的格式化的“形象”，在具体形象和概念抽象之间顺应数学内部关系，借助选择组合重构引发几何直观水平性“突变”，从而奠定无意识思维活动背后的创造情感的潜能。数学家克莱茵认为“数学的直观就是对概念、证明的直接把握”。这里的“直接把握证明”就是几何直观突变作用具象的结果，这就要求问题构造必须具备“水平性”（横向联系）和“垂直性”（竖向拓迁）混搭特征，方能让学生在顺应不确定的结构关系中，产生直观能力的跃进。

例2：如图3，每个图形都是由边长为1个单位长度的小正方形按照某种规律排列组成的E型图。

（2）在方格纸上按上述画图方式画出第④个图形、第⑤个图形。

（3）第⑨个图形中小正方形的个数为                              .

（4）按上述画图方式画出E字图形小正方形的个数是143个，应是第几个图形？

（5）推测出第n个图形中，小正方形的个数为                        （含n的代数式表示）.

问题（3）和（4），目的是落实“水平性联系”的直观要求，关乎逆向思考。这样是让学生观察图形向水平和竖直两个方向的变化，进而思考如何用数学式子表示规律，探索周长规律旨在让学生进一步归纳总结。表格中既有小正方形数量关系（5n+3），也探得周长关系（10n+8）

这能为复杂关系的符号化形成产生式系统。同时，为研究图3中图形排列规律：（（2n+1）2-1），让学生在剪拼大正方形过程中提炼一般结论（8=32-1-1，15=42-1，24=52-1，…），降低了问题抽象度。在由具体“看”“数”“算”“拼”的过程中提炼一般结论的行为，就是引动几何直观突变作用的表现。而基于图形排列“形象”提出问题，则是审美情感发挥作用的逻辑性思维事件，“横向成片、纵向成链”的问题观就是顺应数学内部关系的外在行为。

三、题组变图提升思维

纵观各地的中考试卷，以二次函数图像为载体来探究满足某种条件的特殊图形（如等腰三角形，平行四边形等）是否存在，是近年来中考的热点。解答时要挖掘特殊图形的性质，通过图形的直观性构建关键“点”及“线”之间的位置与数量关系，从而达到以形助数的目的。著名的数学家希尔伯特说过：“一个问题的解决意味着一系列新的问题的诞生，当我们解题成功时，不要忘记提出新的问题，因为还有许多宝藏尚未开发出来。”

“题组生长”式教学是一种比较有效的方法，设计的问题是各个引例（例题）、习题之间具有一定的内在联系（或条件（图形）相似、或结论一致，或方法相同）。能加深学生对诸多知识和方法的理解，给学生营造一个“再发现”“再创造”的探究氛围，变式教学给学生一种新鲜、生动的感觉，能唤起学生的好奇心和求知欲，能产生主动参与学习的动力，保持对学习活动的兴趣和热情。

例3：直线y=-■x+c与x轴交于点A（3，0），于y轴交于点B.抛物线y=-■x2+bx+c经过点A、B.点M（m，0）为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P、N.

问题1.若连接BM、BN，当满足SΔBPM：SΔBPN=1：4，求m的值。

问题2.若连接BN，当ΔBPN为直角三角形时，求m的值。

问题3.若连接BN，当以O、B、N、P为顶点的四边形是平行四边形时，求m的值。

问题4.若连接BN，当∠PBN=45°时，求m的值。

问题5.若以PN为直径作⊙R，当⊙R与y轴相切时，求m的值。

巩固题：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与直线y=x+1相交于A（-1，0）、B（4，m）

两点，且抛物线经过点C（5，0）.

（1）求抛物线的解析式。

（2）点P是抛物线上的一个动点（不与点A、点B重合），过点P作直线PD⊥x轴于点D.交直线AB于点E.

①当PE=2ED时，求点P的坐标;

②是否存在点P使ΔBEC为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标;若不存在，请说出理由。

该题组是在原题的框架下，不断“生长”出新问题，如抛物线与面积、特殊三角形、特殊四边形、特殊角、圆的相切等。在解决问题的过程中，教师逐渐增加条件、变化图形，让学生主动寻求解决问题的方法并产生新的问题，使问题和思维层次逐渐深入。最后，将问题像“链条”一样串联起来，多题归一，环环相扣，层层递进，深化思维，激发学生思维发展的内驱力。教学中随着对图形的不断“联想”，学生能够懂其原理，知其方法，通其变化。最后再设置一道巩固题，让学生在解题和思维的碰撞中提升思维能力，活化所学知识，让学生在探究中既掌握所学知识和技能，又感悟知识的本质，积累思维和实践的经验，形成和发展核心素养，助力培养学生的高阶思维，让不同思维层次的学生更上一个思维台阶。

图形是几何直观的载体，这里所说的图形具有广泛的含义，不仅指几何中的图形，还泛指学生在解決问题过程中画出的所有有助于其观察、思考、分析的图形。

将几何直观运用于教学可将抽象的数学语言和直观的图形语言有机地结合起来，使抽象思维同直观形象思维结合起来，充分展现问题的本质，突破数学理解上的难点，达到逻辑推理的目的。可以这样说，几何直观为我们研究和探求数学问题开辟了一条崭新的途径，并且贯穿于整个数学学习中。

课题编号：GDXKT18851

[ 参  考  文  献 ]

[1]蒋文蔚.几何直观思维在科学研究及数学教学研究中的作用.数学教育学报1997（4）：43.

[2]陈为池.发展几何直观.《中小学数学》2018.4;41-45.

[3]马敏.基于发展“几何直观”的数学教学.初中数学教与学2018.7;13-14.