问题解决中迁移的心理学研究及其对中学数学教学的启示

2019-09-10张姝华喻平

教育研究与评论（中学教育教学） 2019年9期

张姝华喻平

【编者按】南京师范大学数学科学学院、南京师范大学课程与教学研究所喻平教授与他的合作者尝试梳理当代心理学关于数学学习的最新研究成果，并依据这些研究中的实验干预因素、手段或结论，提出一些针对某些专题领域的教学策略，希望能给一线教师的数学教学提供参考。接着2019年第6期，本期《前沿论坛》栏目继续与大家分享他们的研究成果。与数学史融入数学教学（HPM）一样，数学教育心理学（PME）也是数学教育重要而困难的一个研究领域;与数学史太过庞杂，很多素材难以获取、一些阶段难以划分不一样，心理学则宽泛、模糊（不够成熟，所谓“只发展到这个水平”），很多概念和原理难以理解和运用。希望广大一线教师和研究者在广泛阅读理论的基础上加强实践研究（关注学生的真实学习）和独立思考，多运用自己的案例和话语来验证（证实、证伪）和阐述数学教育的心理规律。

摘要：心理学对学习迁移的研究源远流长，形成了一些有影响的理论，如相同要素说、概括说、认知结构说。心理学还对模式识别、源题设计、靶题设计对迁移的影响展开了比较深入的研究。将这些研究中的实验干预因素或结论应用于中学数学教学，可以得到促进问题解决中迁移的教学策略：合理训练模式识别，包括发展抽象模式、形成方法模式、强化典型模式;恰当设计源题，包括源题的子目标设计和多形式设计;变式训练靶题，即构造出近迁移、中迁移和远迁移的靶题来训练学生。

关键词：学习迁移问题解决模式识别源题样例靶题

問题解决中的迁移一直是教育心理学研究的重要课题，虽然这些研究多是对迁移规律的探讨，但是，许多实验中的干预因素对数学教学有着很好的启示作用，有的研究结论甚至就是教学策略。

一、心理学对问题解决中迁移的研究

（一）学习迁移的几个经典理论

对学习迁移的研究源远流长，形成了一些有影响的理论，下面介绍三种：

1.相同要素说。

桑代克认为，当两种情境中的刺激相似时，其反应也是相似的，即当两种情境有相同要素时，迁移才会发生;两种情境的相同要素越多，迁移量就越大。桑代克的“相同要素说”，揭示了迁移的一种内在机制，对迁移理论的研究做出了重要贡献;但是，“相同要素说”把迁移解释为相同元素导致相同联结，相同联结产生转移的过程，很难解释学习迁移的全部现象，特别是涉及一些复杂学习时。

2.概括说。

贾德提出了迁移的“概括说”。他认为，学习者在经验中学到的原理是迁移发生的主要原因：学习者在前期的学习A中所获得的东西，之所以能迁移到后期的学习B中，是因为在学习A时获得了一般原理C，原理C可以部分或全部运用于学习A、B中。根据这一理论，两种学习之间存在共同的成分是迁移产生的必要条件，而迁移产生的关键是学习者在两种学习中概括出了它们的共同原理。

3.认知结构说。

奥苏伯尔认为，过去的经验影响着新的有意义的学习和保持，因为它可以影响认知结构的有关特征。因此，认知结构在迁移中起着决定性作用。迁移是指过去经验对当前学习的影响，但是，这种过去经验是累积地获得、依照一定的层次组织，而且在组织上与新的学习任务有机联系着的原有知识体系，而不是最近经验的一组“刺激—反应”的联结。过去经验的特征不是指前后两个学习课题在刺激和反应方面的相似程度，而是指在一定知识领域内认知结构的组织特征，如清晰性、稳定性、概括性、包容性等。

审视这三种理论，可以看到，研究者由于观察问题的视角不同，实验研究的方法不同，得出了不同的观点。但是，三种理论都有合理的一面，并不相互矛盾，因此对教学设计都有参考价值。

（二）模式识别对迁移的影响

模式识别是一种知觉的过程：人们确认自己知觉的某个模式是什么，而且将它与其他模式区分开来，叫作模式识别。模式识别是迁移的前提：迁移是指模式的迁移，能否对模式进行识别，是产生迁移的先决条件。

许多研究表明，解决应用问题存在模式识别，这种模式识别主要是指对题目类型的识别——正确识别问题类型能快速解决问题。施铁如对初一学生解代数应用题进行了研究，发现要使学生能够正确、迅速地辨认模式，有三种策略：（1）对应用问题进行分类训练，特别是在学习解决应用问题的初级阶段;（2）在教学中，根据学生的情况给予适当的启发，如采用提示语“你注意到这道题属于什么类型？”“这个题像某某类型吗？”等，可以诱发学生识别模式;（3）在学完某种类型应用题的解法后，增加这一类型的变式训练，可以帮助学生更好地识别模式。

解决平面几何问题也存在模式识别：解题者如果能够从问题情境中正确辨认符合解题目标的几何图形模式，就能唤起与解题有关的几何知识来解决问题。朱新明进行了试验，发现甲组被试（解题经验较多）解题的平均时间是乙组被试（相当于初学者）的三分之一，甲组被试能很快地把自己熟悉的模式辨认出来，乙组被试则多数要做一些无效的尝试，才有可能正确地认出模式。因此，要形成几何图形模式，必须进行一定量的解题训练，教会学生从不同角度、不同关联中考察几何要素，形成有效的策略和方法。

（三）源题设计对迁移的影响

迁移的研究中，一般模式是考查学生能否把先前解答过的问题的方法或结论用于解决当前要解答的问题。先前解答过的问题称为“源题”（也称为样例），当前要解答的问题称为“靶题”。

源题的设计，包括多种不同的方法。例如，源题的数量、形式不同，可能导致迁移的效果不同;进行源题变式的训练，可以提高迁移的效果;等等。也就是说，对源题的不同干预手段会导致迁移效果之间的差异。下面是几项关于源题设计的研究。

1.子目标学习模型。

Catrambone等人在研究中发现，学习了源题的学生通常不能解决与其稍有偏差的问题，即不能利用所学的知识进行迁移。其原因可能是，在学生学习源题时，若仅直接给他们呈现解题步骤，则会导致他们记住的只是这些解题步骤，而不是解决问题的子目标结构，他们的问题表征只能是一个大的单一目标以及达到这一目标所需的步骤。因此，Catrambone等人认为，如果改变源题的设计形式，使之产生不同的目标结构，并且清晰地表示出子目标、达到子目标所需的策略和方法以及子目标之间的等级关系，则会改变学生的问题表征，从而有利于学生的学习迁移。于是，他们在源题解题步骤中的子目标处加上标签（lable），以此引导学生建立子目标。而比较了实验组（加标签）与控制组（无标签）的完成情况之后，他们发现前者学习的迁移效果较好：被试的口语报告中，更多地提到求子目标的过程。据此，他们提出源题学习的子目标模型：（1）源题中的一个线索会使学生将一系列解题步骤组合在一起;（2）将步骤组合之后，学生会试图对组合的原因进行自我解释;（3）自我解释的结果导致子目标的形成。

2.信息表征外在整合模型。

Sweller等人认为，人在源题学习中会消耗大量的认知资源，若从减轻不必要的认知负荷角度来设计问题，将有助于学生的学习和问题解决。他们认为，设计源题时，主要应该考虑以下两个方面：（1）减少“手段—目的”分析策略的使用，设置自由目标;（2）实现多重信息的外部整合，如在几何领域将图形和文字整合在一起，在代数领域将文字和方程整合在一起，以及实现声音和文字的整合等。

3.自我解释效应。

Chi在源题设计中插入了自我解释，即要求被试对每一步推理进行自我解释，说明推理的理由。她认为，自我解释是一种建构性的推理活动，具有连续性、片段性的特点，有助于学生随时修正最初的心理模型，从而提高学生的理解水平。这种源题设计更有利于差生的学习。

邢强等人研究了初三学生概率问题的源题学习，发现“变异性样例（对样例进行变式）+引导被试做自我解释”条件下，解题迁移的效果最好。这是因为一方面，变异性样例使学生在形成图式的过程中没有过多关注问题的表面内容，而更多地关注结构变化;另一方面，诱发自我解释的设计又有意识地引导学生检验目标算子的联结条件。

邢强等人在另一项研究中，采用渐减提示的方法干预源题学习。所谓“渐减提示”是指从对一个源题每一步的推理做完整的提示出发，逐步减少提示（即只对其中一些步骤做提示），最后对整个源题都不做提示的过程。他们将学习源题分为两组，一组叫联结学习源题组，另一组叫渐减提示源题组。每一组的源题都是四个具有相同内在结构、不同表面内容的概率问题。在联结学习源题组，源题的呈现方式是：先呈现一个源题，再把四个源题中的一个作为问题呈现（不呈现解决步骤），然后把这个问题的解决步骤完整呈现，依此类推，直到所有的源题全部呈现。在渐减提示源题组，每个源题的呈现方式是：先呈现解题步骤完整的源题，再呈现解题步骤缺少最后一步的源题，依此类推……渐减提示法对近迁移、远迁移有较大的促进作用，并缩短了学生解决问题的时间。

邢强等人还进行了源题子目标编码的相关研究，结果表明，在源题设计时用子目标编码源题的解题步骤，有利于消除新问题解决中由于表面概貌和表面对应变化带来的消极影响，有利于学生理解原理和获得原理的概化图式。

（四）靶题设计对迁移的影响

除了对源题进行干预的研究之外，很多研究考虑的是对靶题进行干预，主要分为两种情形：一是对靶题进行不同的设计，二是对解答靶题的过程进行干预。

1.靶题的不同设计。

一般说来，源题与靶题之间存在四种关系：表面内容相同，内在结构相同;表面内容相同，内在结构不同;表面内容不同，内在结构相同;表面内容不同，内在结构不同。表面内容指的是问题的背景、情节、对象等具体内容，内在结构指的是解决问题要用到的原理、方法等。例如：

源题一辆汽车以平均每小时100公里的速度从A地驶向B地，A、B两地相距500公里。问：该汽车从A地到B地需要多少时间？

该题的表面特征：汽车、A地、B地、时速、两地距离。解答规则：a=b÷c。据此，可以设计四种靶题，如表1所示。

这里，第（1）题称为源题的近迁移题，第（2）题与第（3）题称为源题的中迁移题，第（4）题称为源题的远迁移题。许多研究表明，迁移量会随着近、中、远迁移题而逐渐减小。

2.解答靶题过程的干预。

学习了源题后，让被试解决靶题时，对解决靶题的过程進行适当干预，可以提高迁移的效果。

杨卫星等人研究了平面几何解题过程中加工水平对迁移的影响。实验组的靶题卷上设计了三个解答提示语：（1）这道题与刚才做过的题目之间有共性联系吗？（2）可以利用刚才用过的方法吗？（3）怎样把它还原成刚才那道题再证明？控制组的靶题卷上则没有解答提示语。结果发现，提示只对中等难度的题目迁移有效，即对前后问题的共性意识和加工水平会对迁移产生影响，特别是对解决中等难度的靶题效果最明显。喻平的另一项类似的研究，是探讨加工水平对具有广义抽象关系的数学问题迁移的影响，得到了基本相同的结论。

刘涵慧等人做了更复杂的设计，同时将靶题的不同设计和学习靶题的提示干预作为试验的自变量。结果发现：迁移意识提示对整合性问题解决的影响视不同类型的问题而定;迁移意识与习得经验之间具有交互作用，习得经验较丰富者、综合数学能力较强者更容易受益于迁移意识提示;学习者具备相应的迁移意识和相关的各部分知识经验时，能够重新整合各部分经验，产生远迁移。

二、对中学数学教学的启示

（一）合理训练模式识别

数学中的各种基本概念、理论体系以及定理、法则、公式、算法和方法等都是数学模式。在数学问题的解决中，具有共同结构的一类问题或具有相同解法的一类问题也称为一种模式。模式识别就是接触到数学问题后，将其归类，使其与自身认知结构中的某种数学模式相匹配的过程。训练学生的模式识别能力，可以从三个方面来思考：

1.发展抽象模式。

模式是一个不断抽象的过程。一般说来，位于顶端的模式抽象程度高，因而更具有一般性的性质。在教学中，应当引导学生对模式进行逐级抽象，从而掌握抽象程度高的模式。教学的一个目标，就是让学生掌握比较多的高抽象模式——所谓“观点越高，事物越显得简单”。

例1等差数列{an}中，若a2=10，a6=26，求a14。

一般说来，学生解答这个问题时，会回到等差数列的定义，即利用an=a1+（n-1）d：因为a2=a1+d=10，

a6=a1+5d=26，所以a1=6，d=4，所以a14=a1+13d=58。但是，如果学生掌握了等差数列的基本性质，即an=am+（n-m）d（n、m∈N+），那么他们就会采用这样的方法：因为a6=a2+4d=26，所以d=4，则a14=a6+8d=58。显然，应该让学生掌握比定义更一般的模式（定义的推广），即基本性质——相对于定义而言，这个模式的抽象程度更高，能够解决更多且更复杂的问题。

2.形成方法模式。

用一种方法解决多个问题，即多题一解，就是方法的概括化。波利亚构建的几个解题模型——双轨迹模式、笛卡儿模式、递归模式、叠加模式等，就是方法概括化的典范。在教学中，可以设计体现多题一解的题组，引导学生对方法进行概括，使他们形成必要的方法模式。

例2（1）求一次函数f（x），满足f（f（f（x）））=-27x-2;

（2）设af（x）+bf（-x）=x（a、b为常数，且a2≠b2），求函数f（x）的表达式;

（3）已知函数y=f（x）满足yx2-x2+xy+x+y-1=0，求y=f（x）的值域。

这一组问题的方法模式是方程思想。第（1）题用待定系数法，化归为解方程组;第（2）题是函数方程问题，容易转化为方程组问题;第（3）题可视为一元二次方程问题，用判别式加以解决。

3.强化典型模式。

除了课本上的基本定义、定理、公式等必须牢记的模式外，一些重要的例题、习题往往也是一种模式，需要学生牢固掌握。因为许多题目其实就是以相应知识为原型变化而来的，只要对题目进行适当化归，就可能找到其原始的模型。

例3已知关于x的实系数二次方程x2+ax+b=0有两个实数根α、β。试证明：

（1）如果|α|<2，|β|<2，那么2|a|<4+b，|b|<4。

（2）如果2|a|<4+b，|b|<4，那么|α|<2，|β|<2。

根据条件可知α+β=-a，αβ=b，于是题目可以改写为：|α|<2且|β|<22|α+β|<4+αβ且|αβ|<4。这个结构与课本上的一道习题是一样的：已知|a|<1，且|b|<1，求证a+b1+ab<1。因此，这道习题就应当作为一个典型模式，让学生牢固掌握。

（二）恰当设计源题

根据已有研究的启示，可以采用自我解释、设子目标、问题变式等方法来设计源题。

1.源题的子目标设计。

设定子目标，就是把一个复杂问题适当分解，将总目标分解为一些子目标，通过子目标的解决来实现总目标的解决。相当于，把解决一个问题的主要步骤分解出来，将每一个步骤作为一个子目标，到达一个目标后再迈向下一个目标，实质是促使迁移的发生。

比如，具有一般意义的结论包含了特殊情形，而要推出一般的结果往往比较困难。如果能够先将问题特殊化，就会降低难度，同时可能找到推出一般性结论的方法。此时，特殊化的问题就是一个子目标。

例4求证：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于定值。

如图1，△ABC中，AB=AC，D是BC边上任意一点，DE⊥AB，DF⊥AC，要证DE+DF=定值，有一定的难度。如果能够找到这个定值等于多少，那么，解决这个问题可能会变得简单一些。于是，可以考虑特殊化处理，即将点D运动到与点B重合（如图2），则DE+DF=等腰三角形腰上的高，当然是一个定值。由此得到在图1中作出腰上的高BP，诱发利用面积证明的思路：联结AD，则有S△ABC=S△ADC+S△ADB，从而推出结论。

图1图2

2.源题的多形式设计。

首先，源题的变式设计。包括图形的变化、公式的恒等变形、条件的强化或弱化、逆命题探究等方法的运用。变式的目的是使源题形成命题域或命题系，使学生在头脑中形成完整的知识结构，从而促进迁移的产生。

其次，源题的数量变化。不同的知识点需要的练习量是有区别的。教师应当根据某个知识点的特性，研究多少题目的训练就能够让学生掌握这个知识——太多的练习无疑是对时间的一种浪费。例如，“有理数的加法运算”与“解一元一次方程”的练习量相同吗？“三角恒等变形”与“相似三角形性质的运用”练习量相同吗？……只有对这些问题做了细致的研究，才有可能设计出高质量的源题。

再次，源题的组织形式。不同的内容需要的源题组织形式可能是有差异的。例如，成组地组织源题（一次性讲解一组源题，然后让学生练习）与分散地组织源题（讲解一个源题后让学生练习，再讲解一个源题后让学生练习……）这两种方式分别适合于哪些内容？这需要教師在教学实践中认真研究和总结。

（三）变式训练靶题

学生学完源题后，要进行练习，即解决靶题。一般说来，靶题主要通过变式的方法设计，可以改变源题的表面内容或内在结构，构造出近迁移、中迁移和远迁移的靶题来训练学生，以提升他们的问题解决迁移能力。

例5求抛物线y2=6-2x上与原点距离最近的点P的坐标。

这是一道常规的习题。在学生完成解答后，可以引导他们对问题进行变式。

变式1在抛物线y2=6-2x上求一点P，使此点到A（a，0）的距离最短，并求出最短距离。

此变式是将条件从特殊变成一般，即将源题中的“到原点的距离”改为“到x轴上动点的距离”，但是源题的解法保持不变。这是对源题表面内容的变式，促使近迁移的产生。

变式2已知A（1，1），F为抛物线y2=6-2x的焦点，点P是该抛物线上的动点，求|PA|+|PF|取得最小值时点P的坐标。

此变式是对问题形式进行变形，即增加一个变量，但是解法不变（可以利用定义把到焦点的距离转化为到准线的距离，从而降低算式复杂程度，减少运算量），属于中迁移问题。

变式3某抛物线顶点在x轴上，且以x=72为准线，如果点A（1，0）到此抛物线上的点的最小距离是3，求此抛物线的方程。

此变式是将源题的条件变为待求的结论，将源题的结论变为已知的条件，即引导学生对逆命题进行探究，属于远迁移问题。

变式4某抛物线以（3，0）为顶点，且以x轴为对称轴，如果动点A满足直线方程l：3x+4y=12，且到此抛物线上的点的最小距离为115，求此抛物线的方程。