基于LPV观测器的永磁同步电机反推控制

(江南大学 轻工过程先进控制教育部重点实验室，江苏 无锡 214122)

随着半导体功率器件、永磁材料和控制理论的发展，永磁同步电机因其具有高功率密度、结构紧凑、高气隙磁通和高转矩惯性比等优点[1]，在当前的中小功率运动控制中起着越来越重要的作用。然而，PMSM本身存在着诸如定子电流、电磁转矩、转子磁链的耦合、参数摄动和外部扰动等诸多不利的因素，会直接导致控制系统的动态性能下降[2]。为提高PMSM的转速响应和跟踪性能，近年来出现了多种改进的系统结构[3-4]和设计方法[5-6]。这些方法不仅丰富了PMSM的控制理论，而且一定程度上改进了PMSM的动态性能。

PMSM是一个高度非线性、强耦合的非线性系统[7]，反推控制作为一种有效的非线性控制设计方法[8-9]，其设计方法是通过逐步选取虚拟状态和虚拟控制函数，从原系统选取并构造新的子系统，基于Lyapunov稳定性理论，逐步设计子系统的实际控制，从而实现整个系统的全局稳定。

高性能的PMSM调速系统需要准确的电机转子速度和位置信息，传统的方法是通过加入机械传感器直接测量，由于传感器的安装，导致电机驱动系统的成本增加、可靠性降低和体积增大，使得PMSM的使用范围受到了限制[10]。针对这一问题，学者们提出了许多控制方法来获得准确的转速位置信息。文献[11]采用基波反电动势检测法，利用绕组反电动势与永磁转子速度的相互关系进行估算，其原理简单、设计方便，但在低速时由于反电动势的难测而容易失效。文献[12]采用高频信号注入法，通过向凸极内埋式电动机注入特定形式的高频电流，并检测出线端的负序电流，来估算转子的位置信息。该方法调速范围宽，但终端信号处理过于复杂，且对于电机的凸极效应过于敏感。为了达到更好的控制效果，可以将多种方法相结合，例如文献[13]中，学者提出了一种高频信号注入法和模型参考自适应法相结合的控制方法，该方法既保证了高速时电机的快速动态响应，也保证了低速时的速度跟踪精度，但该方法计算量大，设计复杂。

本文针对PMSM无速度传感器转速跟踪控制问题，设计了一种基于观测器的永磁同步电机反推控制方法，并结合线性参数变化(LPV)方法，解决在电机控制中由于电机负载变化带来的性能变化的问题。仿真结果表明，该方法相较于传统PI矢量控制，跟踪精度高、响应快、抗负载扰动强。

1 PMSM模型

基于表贴式永磁同步电机，其交直轴电感近似相等，即满足Ld=Lq=L，在d-q参考坐标系内的数学模型方程可写为[14]

(1)

式中，ud、uq分别为d、q轴的定子电压；id、iq分别为d、q轴的电枢电流；L为定子电感；Rs为定子相电阻；ψf为永磁体磁链；ω为电机转子电角速度；p为电机极对数。

选取转子角速度ω为调度变量，选取状态变量x=[id,iq,ω]Τ，控制输入u=[ud,uq,TL]Τ，则永磁同步电机的LPV凸多胞形模型可以表示为

(2)

其中，

如果转子机械角速度ω的取值范围已知，且ω∈[ωmin,ωmax]，满足ω=ρ1ωmin+ρ2ωmax，其中ρ1,ρ2为权重比系数，且满足ρ1,ρ2∈[0,1]，ρ1+ρ2=1，则以调度变量ω的取值边界为凸胞形顶点的PMSM的LPV模型可写为

(3)

其中，

2 基于LMI的LPV观测器设计:

考虑以下LPV系统

(4)

式中，u∈Rm和y∈Rn分别为系统的控制输入和控制输出；θ为调度变量；A(θ)、B(θ)、C(θ)、D(θ)均为系统矩阵。

假定系统矩阵均在凸集Ω内变化，即

[A(θ),B(θ)]∈Ω=Co{[A1,B1],[A2,B2],…,[Ak,Bk]}k≥0

(5)

当系统状态量不可直接获取时，可以选择以下形式的状态观测器估计其状态向量：

(6)

图1为状态观测器结构框图，利用原系矩阵A(θ)、B(θ)、C(θ)，实现对系统状态信息的重构，并通过增益矩阵L(θ)调节输出误差，使得观测系统与原系统逐步逼近。

图1 状态观测器结构框图

根据式(4)和式(6)，则系统的状态误差的动态方程可以描述为

(7)

因此，观测器的设计问题可以转化为一个寻找能够使系统(7)鲁棒渐进稳定收敛于零的参数L(θ)的问题。

定理1 对于给定的正可调参数γ∈R，如果存在对称的正定矩阵P(θ) 、矩阵Y(θ)以及单位矩阵I∈Rs×s和一个正定因子ε∈R，满足下列不等式条件[15-16]：

P(θ)=PΤ(θ)，ε>0

(8)

(9)

其中，

Π(θ)=P(θ)A(θ)+AΤ(θ)P(θ)-Y(θ)C-CΤY(θ)+εγI

(10)

则设计的LPV观测器能够确保观测矩阵A(θ)-L(θ)C稳定，同时具有较快的估计速度和估计精度。其中，* 表示矩阵对称，从而得到LPV观测器增益

L(θ)=P-1(θ)Y(θ)

(11)

证明：根据式(6)中状态误差表达式，结合式(4)，并对其求导可得：

=[A(θ)-L(θ)C]ex

(12)

考虑误差扰动φ，式(12)可重写为

(13)

(14)

将式(13)代入式(14)，有：

P(θ)A(θ)-P(θ)L(θ)C]ex+

(15)

引理 1[17]：如果存在适维矩阵M、N，和不确定矩阵F，以及正定标量ε，且对于F有FFΤ≤I，则

(MFN)Τ+MFN≤ε-1MMΤ+εNΤN

(16)

令φ=γex，γ是正可调参数，使用引理1，不等式

(17)

等价于

(18)

其中，ε>0。

则只要

AΤ(θ)P(θ)-CΤLΤ(θ)P(θ)+P(θ)A(θ)-P(θ)L(θ)C+ε-1P2(θ)+εγI<0

(19)

针对永磁同步电机数学模型，设计LPV观测器，其观测器模型为

(20)

以PMSM转速范围边界为工作点的观测器LPV顶点模型为

(21)

L1、L2分别为凸多胞顶点ω=ωmin和ω=ωmax处的观测器反馈增益矩阵；ρ1、ρ2表达式为

3 反推控制器设计

反推控制，又叫反演控制，相较与其他控制策略，其优点在于算法简单，易于实现，能保证系统的快速收敛。该方法使用了拆分的思想，将高阶系统拆分成多个子系统进行控制器设计，保证了系统的全局稳定性。除此之外，反推控制还能结合一些非线性控制方法，使得其在非线性控制领域得到广泛推广。

反推控制作为一种有效的非线性控制器设计方法，其设计步骤为逐步选取虚拟状态和虚拟控制函数，从原系统方程选取状态构造新的子系统，然后构造Lyapunov 函数，逐步设计直至得到系统的实际控制，使得整个系统稳定。

针对PMSM，定义转速跟踪误差为

e=ω*-ω

(22)

选择转速跟踪误差e为新的状态变量，构造新的子系统为

(23)

为了使转速跟踪误差趋于零，对式(22)构造Lyapunov函数

(24)

对式(24)求导可得

(25)

(26)

整理式(26)，选取

对eq求导可得

(27)

为使eq渐进稳定，构造新的Lyapunov函数为

(28)

对上式求导，可得：

(29)

整理得：

(30)

(31)

为使d轴电流跟踪误差趋于稳定零，构造新的Lyapunov函数为

(32)

对式(32)求导，可得

(33)

整理得

ud=Rid-pLωiq+Lk2ed

(34)

综上，在无速度传感器控制系统中，通过观测器引入控制输入，选取输入控制律满足

即可满足整个PMSM系统的渐进稳定。

4 仿真分析

本节分别采用PI控制方法和所提方法对PMSM矢量控制系统利用Matlab/Simulink进行仿真。反推控制系统结构图如图2所示。

仿真给定电机初始转速为1000 r/min，仿真时长0.2 s，初始负载转矩为0 N·m，在t=0.1 s时突加4 N·m的负载扰动。PMSM具体参数设置如表1所示。

表1 PMSM参数设置

根据表1参数，代入式(21)，利用定理1中的不等式条件式(8)和式(9)，分别求得电机工作在ωmin=-1000 r/min和ωmax=1000 r/min处的反馈增益矩阵：

选取仿真参数k=1200，k1=450，k2=150，图3和图4分别为电机转速跟踪仿真曲线和转速误差跟踪仿真曲线。

图3 转速跟踪仿真曲线

图4 转速跟踪误差仿真曲线

由图可以看出，本文所提方法相较传统PI矢量控制，在电机启动时，能快速跟踪参考转速，调节时间短，超调小，在t=0.1 s突加TL=4 N·m负载扰动时，转速能快速恢复到参考转速附近，且误差较小。图5和图6分别为电磁转矩跟踪仿真曲线和电磁转矩跟踪误差仿真曲线，由图可以看出，本文所提方法相较于传统PI矢量控制，转矩响应快，精度高。

图5 转矩跟踪仿真曲线

图6 转矩跟踪误差仿真曲线

5 结束语

针对永磁同步电机无速度传感器转速跟踪控制，结合LMI和Lyapunov稳定性定理，提出了一种基于LPV结构的转速观测器设计方法，有效解决了系统参数不确定性问题，提高了抗负载扰动能力，并通过设计反推控制器，简化了控制器设计，提高了系统的响应速度。结果表明，本文所设计方法相较于传统PI矢量控制，跟踪精度高、响应快、抗负载扰动强。