中学数学对数学分析教学的指导作用

徐凯 叶妍 付锐锋 钱筱月 朱雪莲

摘 要：本文主要通过梳理了高中数学及数学分析的知识线，寻找二者之间的联系，期望能 通过学生们熟知的高中知识自然过渡到大学知识，让学生更好理解数学分析中较为抽象 的定义定理，能更熟练的应用知识。从而做好初等数学与高等数学的衔接，做好大学数 学才学。

关键词：高中数学 数学分析 衔接方式 才法学法

1引言

数学是一门紧密联系实际而发展起来的学科，不论是小学的鸡兔同笼问题，亦或者 高中的三角函数问题，乃至大学的微积分问题，都是可以在现实中找到问题的原型。这么 一门与生活实际相关的学科，在各个阶段的衔接应当是非常流畅的。但实际情况却迥然。 不少同学从高中数学向大学数学过渡时出现断层的现象，找不到两者之间的联系。因此， 从高中知识出发，找到贯穿数学分析的线索，让学生对数学分析从整体上有一个更为亲 切的把握是必要的。针对断崖，希望能有一个好的过渡。因此在讲数学分析的时候，如何 能把高中数学的环境号到大学课堂，使得学生不至于很快脱离原情境，从而快速适应高 校课堂是本文的一个核心。

2中学数学与数学分析的关系

2.1中学数学

中学时期的数学主要是一种静态问题的研究。其内容以函数为主线，从两个方向具 体展开。其一，以函数为研究主体，首先号出了函数概念，初等函数及其性质；继而介绍 了两种特殊的函数：具有周期性的函数一一三角函数，以正整数集或其有限子集为定义 域的函数一一数列。从正面出发让学生对函数的概念及其性质有一个多方面、多角度的 深刻理解。其二，以函数为研究工具，把其他知识（方程、不等式、线性规划等）纳入其 中，从侧面出发让学生体会到函数思想的重要性，学会应用数学解决生活实际問题。

2.2数学分析

数学分析表现在横向、纵向交错；内在层次、外在层次相互重叠，形成层层层叠叠的 多层次型的知识结构。从横的方向看，是以极限为工具研究函数的连续性、可微性、可积 性，构成号论、微分学、积分学三大知识系统。从纵的方向看，是以一元函数的研究结果 为基础，研究多元函数的性态，从而得到相应的多元函数的微分学一一积分学。纵的方 向还包括对级数理论的研究，它是以极限、微分、积分的知识为基础的。

2.3高中数学与数学分析的联系

从培养目标来看，不论是高中数学还是大学数学，其立足点都是着重对学生数学思 维的发展；根本的途径都是基于对基本定理的理解即课本中的本原思想的理解，研究具 体题目与基本定理的联系。

从知识结构来看，数学分析是高中数学知识研究到一定阶段的必然产物。数学分析 的一些基本概念都是在研究初等数学有关问题的基础之上提出的。比如导数，是从代数 运算直线斜率的基础上，号入极限的思想，发展成为研究曲线某点切线斜率的工具；再如 积分，是在代数运算直线或特殊曲线所围成的平面图形面积的基础上，号入极限的思想， 发展成为求一般曲线所围成面积的方法；无穷级数求和同样也是在用代数运算求有限项 之和的基础上发展起来的。

2.4小结

从上述分析，我们提出了“以题应知”的想法。受益于高中“题海战术”的训练，初 入大学的学生对高中的典型例题还是较为熟悉的，那么我们是否可以用高中知识为题干 的题目出发，通过解题的方式，带领学生完成从高中思维至大学思维的转变，号出数学分 析中的本源知识的应用。

3高中数学对数学分析的作用

3.1极限概念的应用

在高中极限法只要是解选择题或填空题的一种有效方法，根据题干条件，考虑极端 情况，有助于缩小选择面，并能避开抽象复杂运算，优化解题过程，降低结题难度；而在 大学极限法研究函数连续性，可微性，可积性的一个重要工具，数学分析之所以能解决初 等数学无法解决的问题，如求瞬时速度、曲边形面积等，正是因为它采用了极限的方法。 那么如何对二者进行联系呢？

例1 设四面体的六条棱的长分别为1，1，1，1， 和a，且长为a的棱与长为的棱异面，则a的取值范围是多少？

分析 构造四面体ABCD，AB = AC = BD = CD = 1，BC = ，AD=a.

证法一：此题可看做绕BC旋转时，求AD的取值范围问题，且旋转是连续的，可以采用极限法研究其极限位置的取值，所以本题的处理方法如下：

已知当A D，a 0；当AM （M 为正方形BMCD的顶点，即△ABC与△BCD共面）时，a ，求得0

证法二：由这个旋转运动特征可以发现这是一个函数问题，取底边BC的中点E，连接AE和DE，得，则，AE = DE = ，设∠AED = θ，则有余弦定理得AD = f （θ） = （0<θ<π），因为旋转是连续的所以求得的函数也是连续，这道题本质上研究的是连续函数在一点处的极限值就等于在该点处的函数值。

，

又因为单调递增，可求出0

3.2函数方面应用

3.2.1连续性

连续函数的介值性定理是函数的连续性这部分内容的一个核心定理。对其做如下号

入设计：

例2 解不等式 .

分析 这是一个典型的解不等式问题，高中的基本思路为平方展开后解二次不等式。

解法一：两边平方化简后可得：

即：

即 ：

从而原不等式的解集为：

上述解法较为冗杂，我们至此给学生号进新的解法二，介绍介值性定理。

分析 将上述不等式转化为方程，然后构造一个函数，利用介值性定理确定解的区 间即可。

解法二 原式的定义域为[−1，3]，令

那么f （x） = 0的两个解为：

由此可以将定义域分为三个区间：

取0 ∈ I1， 1 ∈ I2， 2 ∈ I3，可得：f （0） > 0， f （1） < 0， f （2） < 0

从而原不等式的解集为：

3.2.2可微性

拉格朗日微分中值定理是函数的可微性这一块知识中的一个重难点。由于定理是较 为抽象的，很多学生学完这部分的内容仍然无法理解其本质，最后将这个难懂而又重要 的定理以记英文单词的方式记忆下来，看似掌握，实贝难以运用。于是，我们设计以如下 例题号入：

例3 已知X>0，求证

证法一：记

对三个函数分别求导，可以得到：

观察三个导函数，我们不难发现：当x > 0时

由（1）、（2）两式可得；

证毕。

上述解法完全是基于高中的知识。作为刚从高中升入大学的学生来说，是熟悉的。至此，号出另一种与拉格朗日微分中值定理相关的解法。

证法二： 记

由f （x）在[0，x]上满足拉格朗日中值定理，故∃b ∈ （0， x），使得：

即

由0 < b < x 知：

那么

再由x>0，知

证毕。

通过创设这种熟悉的问题情景，让学生理解所学知识的本质，更好的去应用。

3.2.3图像

例5 画出函数 的图象，其中x ∈ R

分析 在高中时，对于函数图像，我们可以通过L：，以及f ！（x）来确定函数的大致位置

与增减性，从而知晓函数的大概图像，對于更精确图像，只能通过选点确定函数值来一一确定。

由法一：

1. 确定定义域：（−∞， 0） （0， +∞）.

2. 单调性：对f （x）求导，得：

令

（1） 当x ∈ （−∞， −1） （1， +∞）时， ，即f （x）为增函数。

（2） 当x ∈ [−1， 0） （0， 1]时， ，即f （x）为减函数。

3. 值域 （−∞， −2] [2， +∞）.

4. 奇偶性

故为奇函数。

5.描点

至此，我们可以确定出f （x）的大致图像：

不难发现，在高中阶段画一个函数图象较为复杂，并且精度也不高。至此，我们引入了函数图像凹凸性、驻点、拐点、极值条件等知识。

画法二：

所以，f （x）在x1处取极小值，此时f （1） = 2；在x2处取极大值，f （−1） = −2；且f （x）在

（−∞， −1）和（1， +∞）上增，在（−1， 0） 和（0， 1）上减。

2.

因为 恒不为0，故没有拐点，从而f （x）在（0， +∞）为凹函数，在（−∞， 0）上为凸函数。

基于以上特征，我们可以得到一个较精确的函数图象。

3.3 数列方面的应用

例6 设函数 ，若当 时， ，求a的取值范围。

分析 观察发现，−1 − x − 这是一个多项式函数，对于一个多项式函数，我们可以利用其号出数学分析中级数部分的知识。

解法一：

，当且仅当x = 0时等号成立。故 ，从而当 ，即 时， ，于是当 。由 ，从而当 时， ，故当 时， ，而 ，于是 时， ，综合得a的取值范围为 。

对于这道题我们同样可以从级数的方面出发：

在 处的泰勒级数是 ，在题目中我们运用级数方面的知识， 带入原函数中 ，a的取值范围为 时，这是一个严格增函数，满足题目中的条件；当 时， 。在0的右领域内，导函数中的 ，都是 ，所以 。也就是当 时，在0 的右领域内，f （x） < 0。

在这道题目中，我们通过对 泰勒级数的分析，初步估计出了满足题目条件的a的范围，最后根据数学分析中知识，证明了我们所求a的范围的正确性。

4结吾

如何处理好学生从高中数学到大学数学的过度是每一位数学才育研究者该思考的问题，这一问题的研究不仅能构建学生连贯的知识结构，还能深化数学分析的才学质量。可以说这是数学才育创新改革的核心内容与提高大学数学课堂质量的关键，还需进一步 的探索。

参考文献：

[1]华东师范大学数学系.数学分析[M].北京：高等才育出版社，1991.

[2]F·克莱因（德）.高观点下的初等数学（第一卷）[M].武汉：湖北才育出版社，1989.

[3]全海锋.数学分析与高中数学才学衔接及应用.西北大学.2015年

[4]孔样勇.才学与新课标下高中数学的衔接研究.绵阳师范学院学报.2012年8月第31卷第

[5]杨小锋黄冬霞刘迎圳.浅析数学分析与中学数学和后续课程的衔接.《新西部》2014年.32期

作者简介：

第一作者简介：徐凯（1998.8），男，汉族，浙江温州人，江苏师范大学在读。

第二作者简介：叶妍（1998.6），女，汉族，江苏盐城人，江苏师范大学在读。

第三作者简介：付锐锋（1998.5），男，汉族，江苏南京人，江苏师范大学在读。

第四作者简介：钱筱月（1998.2） 女 ，汉族，江苏无锡人，江苏师范大学在读 。

第五作者简介：朱雪莲（1997.12） 女，汉族，江苏昆山人，江苏师范大学在读。