2个中档导数小题的简单思考

邓鑫

下面我们看2个例题。

1.（2019·赣州模拟）若函数f（x）=aex-x-2a有两个零点，则实数a的取值范围是________.

很多同学拿到这个题目就直接求导，甚至是二次求导，最终事倍功半。

下面我们来分析题目。首先提个问题，这是个什么函数？先看它的组成，有指数函数和一次函数。指数函数和一次函数都是我们常见的基本函数。这个函数由指数函数和一次函数加减组合而成，我们不妨称之为“组合函数”。题干给出的条件是这个函数有两个零点。看到零点首先想到的是什么？函数与x轴的交点或者两个函数的交点。这样的话，我们必须画出f（x）的图像，用数形结合的办法。令h（x）=aex，g（x）=x+2a.由函数f（x）=aex-x-2a有两个零点我们可以知道h（x）与g（x）有两个交点。参照三角函数，我们知道h（x）=aex是基本函数y=ex的幅度变换，可能单增，也可能单减，由a的符号决定。g（x）=x+2a是个简单的一次函数，单调递增，截距为2a.通过分类讨论和排除法，我们最终可得如下图像。

分析题意，我们可知，要有两个零点，h（x）=aex必须往下凹。所以2a>a即可，即a>0.

综上，a的取值范围是（0，+∞）.

点评：这道题目加深了我们对零点相关定理的理解。

2.命题p：∃x0∈R，使 为假命题，则实数m的取值范围是________.

很多同学，拿到题目也是求导，最后不知所云。其实求导只是手段（工具），最终还是要依靠函数的分析方法。

由題意，命题p为假命题。“翻译”一下，变成：∀x∈R， .仿照上面的例题，我们设h（x）= ，g（x）= .由题意h（x）= 和g（x）= 没有交点。下面我们同样是画图像分析。

由图可知m的两个临界状态 和 。 显然是0.那么 怎么求？

我们注意到g（x）= 是正比例函数。那么求 就转化为求过（0，0）点的h（x）= 的切线方程的斜率问题啦。

设切点为（ ， ），过切点的切线方程可设为 。因为，切线过（0，0）点，所以，可得 ，又因为 ，所以 ， = 。所以切线方程为 ，即 = 。

所以， 的范围为 .

总结：有些函数问题，有时候因为导数工具的引入，反而变得复杂啦。其实我们在考题中见到的函数大部分是基本函数的四则运算组合而成，本质还是考查函数的思考方法。所以，我认为，数学题目想得越简单越好。