数学归纳法在高考数列问题中的应用

2019-09-10张晓东李益萍

高考·中 2019年10期

张晓东李益萍

摘要：数列是高中数学中的一个重点和难点，也是高考数学的一个重要考点。数学归纳法是解决与正整数有关的数学问题的有效方法，在高考试题中有非常频繁和广泛的应用。相比较其他方法，用数学归纳法解某些数列题有时思路更顺畅。

关键词：数学归纳法;高考;数列

1、引言

数列是高中数学中的一个重点和难点，也是历年数学高考重点考查的内容之一，与数列相关的问题往往灵活多样、技巧性强。求数列通项公式除较为简单的定义法、公式法外，仅“由递推公式求数列通项”一种题型就有an+1=an+f（n）、an+1=f（n）an、an+1=pan+q、an+1=pan+f（n）、an+1=pan+1+qan、等多种形式，很多学生在解决这类问题时难以熟练掌握技巧，甚至出现求通项与求和方法混淆的情况，容易失分。

近几年高考命題对于考查学生的探索和归纳问题的能力有所侧重，广泛出现了很多利用数学归纳法证明等式、不等式的题目。数学归纳法是解决与正整数有关的数学问题的有效方法，在高考试题中有非常频繁和广泛的应用。相比较其他方法，用数学归纳法解某些数列题有时思路更顺畅。

2、以近年全国卷为例进行试题分析

2013-2018年高考理科全国卷I中与数列相关的题目数量、分值及考点分布情况如下表所示。

由上表可知，与数列相关的题目考察内容相对稳定，主要包括：求数列的通项公式、前n项和，证明等差、等比数列，等差、等比数列的性质等，有时甚至会与不等式的内容有所交叉。另一方面，从题型分布和分值上来看，历年没有较大变动，数列的内容几乎每年都是出一道选择题和一道填空题，占到10分，或者是一道解答题，也就是12分。

3、求数列通项公式

例1（2018全国I卷文科第17题）已知数列{an}满足a1=1，nan+1=2（n+1）an，设.求b1，b2，b3判断数列{bn}是否为等比数列，并说明理由;求{an}的通项公式.

解：（1）b1=1，b2=2，b3=4.

因为所以由等比数列定义可知{bn}是等比数列，其首项为1，公比为2.

由已知条件可求得a1=1=1×20，a2=4=2×21，a3=12=3×22故猜想数列{an}的通项公式为an=n·2n-1.

①当n=2时，a1=1×21-1=1，成立。

②假设n=k时成立，即ak=k·2k-1.则，因此n=k+1时也成立.

由①②可知{an}的通项公式为an=n·2n-1.

点评：用数学归纳法求解数列通项公式的思想与小学奥数中“找规律”的题目异曲同工，本质上都是合情推理的过程。不同的是，后者只需要根据给出的几项发现规律，并写出后面几项，而前者还需要给出合理、完整的证明过程。数学归纳法是一种证明已知命题为真命题的方法，用数学归纳法求数列通项最关键的一步在于猜想发现已知数列的通项公式，故此方法并不适用于求解数列通项公式较为复杂的题目。

4、证明数列不等式

不等式的内容在整个中学数学中占有重要地位，对于不等式的证明

例2（2017浙江理科第22题）已知数列{xn}满足：.证明：当时，（1）.

证明：先证.①当n=1时，，不等式成立。

②假设当n=m时不等式成立，即xm>0.当n=m+1时，易知xm+1与ln（1+xm+1）同号，则由可知，xm+1>0.

由①②可知，对任意的，有xn>0，ln（1+xn）>0.所以成立.

点评：在证明数列不等式的过程中，单纯用强化不等式、放缩的方法有时难以得到结果，甚至需要学生理解并记忆过一些典型的不等式作为基础，对学生的数学素养要求较高。在用这些方法受到阻碍的时候，尝试使用数学归纳法往往会豁然开朗.

事实上，数学归纳法在证明不等式中的应用并不局限于数列不等式

5、结语

尽管一些高考中的数列题目除了用数学归纳法之外还可选用其他方法解答，但在用其他方法难以作答时，数学归纳法不失为一种有效的好方法。训练学生熟练运用数学归纳法解题的能力，有利于培养学生逻辑推理、数学运算等核心素养。

在课堂教学中，应鼓励学生采用多种解题方法，从多个角度去思考一个问题，并比较各种解法的优劣，从而有效提高学生分析和解决问题的能力。

参考文献