莫愁高考无途径，复习例题皆有数

摘 要：本文针对高中数学课本例题与高考数学的真题之间的联系展开讨论，主要表达高考数学真题源于课本，却高于课本的理念，提出学生备考时应该回归课本的复习建议。本文的目的在于，给老师和学生们一些关于高考备考的思路与启发，希望能起到抛砖引玉的作用。

关键词：高考数学;课本例题

高考一直是高中教育关注和重视的焦点，因为它符合我国的应试教育的特点，也具有选拔学生的能力。随着教育理念的不断发展，高考对学生的考察目的也在与时俱进地发生着改变，不仅要求学生的基础知识足够扎实，还要求学生具有较高水平的核心素养，高考数学亦是如此[1]。通过对课本例题和近几年高考真题的分析与探讨可以发现，不管高考数学如何更改题型和内容，课本的例题始终是高考原题的基础，因此学生备考时应抓住关键部分，理解并充分利用好课本中的例题。

一、例题深析

课本中的例题、习题以及课后思考题都是根据新课程标准的要求选取的题目，具有典型性和实用性，值得学生和老师进行深入研究。平时的学习中，师生一定要重视课本例题的研究，充分挖掘题目的内涵，发现相互之间的联系，再做到深挖背景、重复利用，就能达到事半功倍的效果。以高中数学人教版选修2-1中p70例5：如图，

过抛物线y2=2px的焦点F的直线与抛物线相交于A、B两点，通过点A与抛物线顶点的直线与抛物线相交于点D，求证直线DB平行于抛物线的对称轴。教材中的解法为：第一步建立坐标轴，以抛物线的对称轴为x轴，顶点为原点，建立直角坐标系，此时抛物线的方程为y2=2px;第二步设A点坐标为（），直线OA的解析式为;第三步列出准线解析式，联立第二步与第三步可以得到D点的纵坐标;第四步根据F（）求得直线AF解析式为;联系第一步和第四步得到B点的纵坐标;最后就能证明直线DB∥x轴，除了理解和掌握例题的步骤与解法之外，师生还要关注到其他与高考相关的方面，即该例题出现的特殊的点与线，即焦点与准线。如果老师和学生深入探究下去，能得到以下结论：设B点是抛物线y2=2px上的定点，A点位于抛物线内，直线AB∥x轴，P点是抛物线上异于B点的动点，直线PA与抛物线相交于Q点，直线PB与抛物线相交于M点，则有MQ∥x轴。在以下题目中：已知抛物线y=x2+bx与直线y=2x+4交于A（a，8）、B两点，点P是抛物线上A、B之间的一个动点，过点P分别作x轴、y轴的平行线与直线AB交于点C和点E，求抛物线的解析式。解题时，学生就可以把例题普遍化的结论运用在其中。

课本中的例题因为典型，所以值得老师和学生深入分析。在探究时，应该与高考考题趋势相结合进行研究，证明类型的例题则可以当做结论进行应用。因此学习例题不应该浮与浅表，应沉浸其中，发现规律与联系：一道证明性质的例题，可以得到普遍化的结论，并应用在平时的解题中。

二、真题探究

因为高考命题有着“来源于课本，高于课本”的特点，所以深入探讨课本上的例题是十分关键的[2]。如果课本例题直接出现在高考题中，就可以凸显例题的典型性，例如高考中曾以高中选修2-1P78的例题为原型改编，已知O、A、B三点共线，且（m、n∈R，mn>0），则的最小值是多少？主要考察的是学生的思维能力;一些课本例题得到的结论也会被应用在高考中，这也表现了高考的灵活特点，又如人教版必修2p130例题中，直线y=x-2与抛物线y2=2px相交于A、B，求证OA⊥OB，就与考试中一道题：直线l过定点（2p，0），与抛物线y2=2px相交于A、B，当AB⊥x轴时，S△AOB最小，有着异曲同工之处，因此学生熟练掌握课本例题就能缩短解题的时间;有些高考题目就是通过多重变化课本例题得到的，比如2007年高考江西卷第15题，△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线交AB、AC不同的两点M、N，若，则m+n的值是多少？就把课本上多道例题一齐综合在一起，所以学生平时思考题目时要多多发散。

以统计分析的考题举例，高中时期接触的统计概率知识还比较浅表，所以考察的内容知识比较零碎、覆盖面较广，但根据最近几年的全国新课标I卷的趋势分析，高考对“统计概率”的要求越来越严格，难度也越来越大。在2016年全国新课标理科Ⅲ卷的第18题中，向考生展示了一幅2008-2014年生活垃圾无害化处理量的折线图，要求考生根据折线图运用线性回归模型拟合y与t的关系，并预测2016年生活化垃圾无害化处理量，考查难度比较大。这道高考题也在提示老师和学生基础知识是最关键，概率与统计的基础知识在选修2-3中，学生必须仔细的理解其中的含义;其次便是知识的互相联系，概率与统计的知识看似简单，但和几何、数列联系在一起解题便会有一定难度，学生在平时也要多留意相关题型;最后最重要的部分，就是数学核心素养的培养，只有综合能力达到了一定水平，才会更加思路清晰、计算准确地解题。

根据对近几年高考考题的分析，可以得到高考命题逐渐与课本例题靠近的结论，其主要考察学生是否理解课本例题的内涵，例题中蕴含的数学思想以及学生的数学综合能力。

三、备考策略

高三学生复习数学方式，大多都是做题、考试、总结错题的无限循环，在备考的道路上磕磕绊绊的走着，充满着疲惫与艰辛。这些程序当然是必不可少的，至少代表着高中应试教育的特点，学生至少要明确高考考察的具体要求，这代表着今后备考的方向。

通过对课本例题的深入分析可知，课本例题时高考命题的“源泉”，大多高考题都是例题的变形体，所以学生在备考过程中，要注重理解教材中的例题，探究其中的数学思想和知识联系，还要灵活应用例题给出的结论;通过对高考题目的观察和总结可得，高考的考察重心逐渐往能力方面转移，考察的知识点慢慢深化，需要学生对概念足够清晰，还对学生的综合能力有了更高的要求。例如2014年全国新课标I卷第21题第2问，，曲线y=f（x）在（1，f（x））处的切线方程为    ，证明f（x）>1，这道高考题属于难题，对学生的数学素养要求很高。这道高考题可以有两种解法，一是直接求导，利用二分法和数值放缩的方法解题;二是对指对函数进行分离变形，构造出新的函数解题。这一道问题利用不等式把指数函数与一次函数联系在了一起，看似平凡却又不平凡，其中不等式都来源于高等数学的泰勒公式。因此高考的高档题往往与大学高等数学的知识有着密切联系，所以老师在讲解这种题型时，不妨教授学生一些简单的大学知识和思想，例如微积分的知识理论和数学思想，使学生在面对高档题时可以从不同角度切入思考并解题。

关于高三学生的备考，首先要注重教材中基础知识点，其次要理解和拓展教材中的例题、习题以及思考题，最后还要培养数学思想和素养能力[3]，比如学学习选修4-4坐标系与参数方程p38例题4时，AB、CD是中心O的椭圆的两条相交弦，交点为P，两弦与椭圆长轴的交角∠1=∠2，求证，首先要学会理解、计算例题，其次还要与圆锥曲线的类似题型联系在一起，最后还可以将这些四点共圆的题目总结出定理，如设点A是定圆锥曲线M上的定点，但不是顶点，C、D是M上的动点，直线AC、AD的斜率互为相反数，则直线CD的斜率为曲线M过点A的切线斜率的相反数，也是定值。做题是必不可少的环节，但也不是不可取代的部分，更重要的是学生的思考。高考数学的命题没有技巧与套路，但高考数学的考察目的有一定的规律可循，学生一定要把握利用好课本中的例题。

四、总结

总之，高考没有想象中登天之难，也充满着无限的可能与挑战。新课标的要求与高考大纲同时在为老师和学生指明方向，“回归课本，理清知识;重视能力，提高思想品质”才是最有效的备考途径。今后高考的方向也会往基础知识和综合能力的考察靠拢，所以学生巩固基础知识时要回归课本，增强综合能力时要及时深入探究。

参考文献

[1]代修勇.新课标全国卷（理科）高考数学试题的研究[D].哈爾滨师范大学，2016

[2]项丽红，逯彦周.2018年全国高考数学“概率统计”试题分析及教学思考[J].中学数学杂志，2018（09）：50-53.

[3]尚凡青.高三数学复习离不了课本中的例题与习题[J].新高考（高三数学），2013（11）：11-13.

作者简介：方壮彬（1975.03-），男，广东普宁人，理学学士，中学高级教师，主要从事数学教学