基于认知负荷理论的数学教学策略

王雪莹

【摘要】本文以现代认知心理学的一个重要理论——认知理论为依据，阐述数学学习困难的原因，并提出相应的数学教学策略。认知理论总的核心观念是每个人的记忆容量有限，其中工作时用到的工作记忆容量有限，但是储存知识的长时记忆却又是无限的。从认知理论的角度来看，学生由于在学习数学中所负担的负荷超过其工作记忆的容量，所以导致数学学习困难。本文基于认知负荷理论提出以下几点数学教学策略：教师充分做好任务分析，备好学生和教材;提供先行组织者，回顾旧知识，搭好脚手架，做好章前复习;增加样例学习;多样的呈现方式，调用多感官;在解决问题之前，提供支持性信息帮助;加强小组合作;放慢节奏，促进自我解释，建构图式;变式练习，促进图式建构。

【关键词】认知负荷;工作记忆;数学教学策略;图式

随着教书年限的增多，教师会有强烈的对比，会发现越来越多的学生学习数学越来越困难，厌学数学越来越多，学生的数学素养一届不如一届。学生会觉得数学越来越难学主要是工作记忆缺陷，学科知识不扎实，没有形成完整的知识结构和自动化的图式。从认知负荷的角度来讲，就是学生所接受的认知负荷超过学生本身的认知承受能力范围。本文从认知负荷理论的角度，初步提出促进数学学习的教学策略。

一、数学认知负荷和认知负荷理论的教学原则

1.认知负荷理论和数学认知负荷

认知负荷是指学生在接收新知识或完成各项任务中对相关的内容进行加工，这个过程中所需要的认知资源的全部。认知负荷理论认为认知负荷包括由于学习材料的难度或任务复杂以及个人知识结构决定的内在认知负荷，学习内容组织顺序或呈现方式等的外在认知负荷，以及学习者本身认知结构等的相关认知负荷。而数学认知负荷，是指学生在数学学习中，工作记忆需要注意和处理的数学内容，信息的总和。

2.认知负荷理论的教学原则

认知负荷理论的主要观点是：①人的总的记忆包括容量有限的工作记忆和容量无限的长时记忆，两者的容量性质不同;②存储于长时记忆中的知识如果是以图式的形式存在，组块化，长时记忆将会更加稳固。图式的构建能帮助降低工作记忆的负担;③为了构建图式，学习者接收的各种信息在工作记忆中进行提取并操作，最后各种信息以图式形式存储到长时记忆。基于以上观点，本文提出数学学困生教学一些教学策略。

二、数学学习因何而“难”

学生觉得数学难学，一方面在于数学知识抽象，难以理解，知识之间零散，没能建立成一个系统，形成一个稳定的图式，占用大量工作记忆资源。在解题中难以提取，并应用到新的问题情境中，超过工作记忆的容量，考试成绩低下。

第一，在数学知识量方面比较缺乏。对于数学教学中的涉及到基本知识，甚至是对某个概念中某个关键词理解出错或者不理解。面对数学问题解决，往往只是从表面去表征问题，容易造成混淆错误。

第二，在数学知识提取方面觉得困难。众所周知，数学前后知识联系紧密，如果新知识与旧知识联系相对比较少，学生学习可能还好一点。但是当涉及需要旧知识为基础的新知识时，学生会有更大的困难。主要原因在于，学生把学过的数学知识“忘记”，即是新旧知识已经“断链”，出现断裂。实质上新旧知识没有打通，新知识没有被纳入旧知识体系，没有形成一个稳定的“网”。旧知识也没有形成一个稳定的图式存储在长时记忆中，所以学习新知识时，难以从旧知识上提取有关信息，也难于和新知识进行正确的连接和迁移。

第三，在知识的运用方面觉得困难。对于常规熟悉的问题时，学生能根据问题中的某些词或句子，去努力回忆平时的解题过程中遇到的相似情景或题目，试图靠仅有的记忆去模仿解题的方法和步骤，这个过程需要耗费大量的工作记忆，影响解题过程中其注意力的分配，停留在浅层的模仿，如果题目稍微变形，往往会出现错误，或者不会做。所以，如果不回顾复习，遗忘率和出错率会随着时间的延长会越来越明显。而面对陌生的题目，如果没有相应的经验和相关模型存储于大脑中，平时缺少经历这样一个过程，更是毫无头绪，无从下手。

三、基于认知负荷理论下的数学学困生的教学策略

1.内在认知负荷和数学教学策略

（1）内在认知负荷

内在认知负荷就是内容复杂，任务的难度或个人知识认知结构缺陷导致学习过程中施加在记忆的认知负荷。由于学习内容复杂或任务难度大引起，施加在工作记忆的认知负荷就是外在型的内在认知负荷;由学生个人的认知结构缺陷或不稳定引起的认知负荷就是内在型的内在认知负荷。

①外在型的内在认知负荷

材料的难度，学习者需要耗费大量的记忆容量去理解材料中的各个概念的意思，需要理清各个部分之间的关系，需要在大量的信息中提取有用的信息，在信息中表征问题，从而影响问题的解决。减少外在型的内在认知负荷策略——教师充分做好任务分析，备好学生和教材。减少外因决定的内在认知负荷策略就是确定数学教学最终目标，了解学习者起点能力，分析使能目标。教参对于每个单元都给了一定的目标，而这些目标表述是简洁明了。落实在每一节中，就应该有更具体的目标。作为教师，应该充分将数学教学目标再细化，并且陈述具体化，可操作化。教师备课中除了要关注本節课的最终目标，关注学生原有的认知结构，为学生的原有认知结构和最终目标搭建脚手架，即使能目标。尽可能将整个教学设计细化成具体的小目标，尤其是数学学困生的起点能力，教师应该有更多充分的预设，和经验的积累，让每一节的脉络在教师心中清晰。

以下是勾股定理的教学分析：

②内在型的内在认知负荷

由于每个学生对知识的掌握和认识成都不一样，经验不一样，习惯看法不一样，也就是说认知结构的广度和深度两维都不相同，所以不同的学生接受新知识的快慢也会不一样，认知也不一样。心理学家认为，及时加工处理和存储信息有利于建构知识，减少负荷，否则，延迟记忆不利于认知结构的完整构建。越丰富越统一的信息整体，越稳定的认知结构越有利于长时记忆的存储和组织，从而降低记忆负荷。相反的，如果学习者的认知结构比较单一、分散、孤立，那么在学习过程中，需要临时建构图式，就会延迟记忆，加大记忆负担。更甚至数学学困生会出现知识的断链，旧知识对于他们来说也是新知识，需要占用一定的记忆容量，增加认知负荷。

基于内因决定的内在认知负荷——做好章前旧知识回顾，帮助数学学困生巩固知识结构。减少内在型的内在认知负荷的数学教学策——提供先行组织者，做好章前复习。对每一章中需要用到的旧知识进行复习，唤醒学生长时记忆中有关图式，帮学生建构旧知识避免因为旧知识的断片而影响新知识的学习。每学习一个新单元，把本单元需要涉及到的旧知识用完整的一节课复习一次。这样做的好处是，避免学习新知识时由于知识结构的断层而链接不上，或者对于数学后进生，由于都是旧知识，或多或少在他们的脑海中留些一些痕迹，当再次提起时，也是一个再次知识再提取的一个过程。复习中不是增加新的知识点，而是梳理知识，形成一个比较清晰稳定的认知体系和认知结构，有利于长时记忆。对记忆来说，是在减少内在认知负荷。

下面是一元二次方程的章前复习：

1.观察方程：2x=1;3x+2=x-4;2（x+2）-3（x-1）=0它们所含未知数的个数是多少，并且未知数的最高次数是多少，所以这样的整式方程叫做什么。

2.下列方程哪些是一元一次方程（   ）

（1）5x+3=0，

（2）2x+y=3

（3）

（4）

（5）x2-2x+1=0

3.解方程3x=2（x+5）

4._____;（-32）_____;

5. 25的平方根是____;记作=____;

6.化简： ;;

7.化简：（x-1）2=_____;（2x-1）2=_____;

（a+1）2=______;（x-3）2=______;

（x-4）2=______;（3x+2）2=______;

8.因式分解：x2-5x=_____ ;2x（x-3）-5（x-3）=_____;

9.求出下列各式中的x.

（1）x2=49         （2） 9 x2 =16

（3） x2=6        （4） x2=-9

（2）外在认知负荷和相应的数学教学策略

外在认知负荷，比如学习内容的组织顺序和教师讲授的呈现方式混乱，无关信息太多等，学习者需要占用大量的认知资源去接收和辨析，对学生没有起到直接的影响和效果，这时就会产生额外的负荷。外在认知负荷占用耗费了学生数学学习的工作记忆容量，不利于数学学习。

①增加样例学习

心理学家认为：“理解和模仿自己或者他人的行为对一个人来说是轻松的。”教材中“例题+分析+解答”实际上是一个原理方法样例，能让学习者快速获得技能。同时，样例学习就是教师给出一个正确的规范的示范，学生依样画瓢，可以免去更多尝试错误学习，把注意力工作记忆重点指向学习有关的部分，从而腾出工作记忆容量去进行知识的内化和迁移学习。对于数学学困生，样例提供一个模仿的模版，通过数学样例模版学习，学生从模仿开始，到初步建构基本模式。再通过一定量的训练，达到一个熟练的程度，当再次回忆时或运用时减少再次提取时需要消耗的工作记忆，为解决新问题创造更好的空间。

②多样的呈现方式，调用多感官

数学知识的一个重要特点就是抽象性，单纯的文本呈现，学生平分记忆资源去关注，抓不住重点，耗费工作记忆容量，造成记忆负荷。多感官的一起调用，可以减少文本带来的记忆负荷。像函数代数式等抽象知识，教学中笔者要求学生根据解析式画出函数草图，数形结合，根据草图去学习函数的性质。当要求学生思考课本的例题时，尽量配以声音解说，如教师的语言提示，简短的文字说明等，提问关注图形中的重要信息。对于概念定理的呈现，教师则可以通过语速或者语调，停顿，音量等，引领学生眼、耳、脑、心并用，关注关键词，把握本质，提高辨识能力。对于需要数形结合的问题，当文字、符号、对应的图形各种信息比较分散时，学生需除了要看文本，看图形，还要把文字和图形串联起来，转化理解，就会占用大量的工作记忆，引起大的认知负荷。如果把题目中有关条件和信息标注在图形中，符号放在靠近它描述的图形中对应的部分时，可以减少认知负荷，获得更快的解题思路和方法，即在知识提取方面更有帮助。目前，微课教学，整合了声音和文字，图形，也是一种好的数学内容呈现的方式。学生根据教师提供的视频提前预习新的知识，可以完成工作记忆对知识的初步建构和加工.课堂上节省了大部分时间用于知识的建构，课堂上主要用于解答学习者的学习困惑，纠正错误理解，完成知识结构的进一步建构.微课教学，引导学习者关注学习的重点，增加动画效果，形象直观，减少学习者将文本转化理解所耗费的工作记忆，减少外在认知负荷。但是微课视频中信息内容相对比较多，信息很快过，所以要引导学生在合适的时机关注合适的地方。或者要挑选能在难点的地方放慢节奏，给学生思考的视频教学，让学生有时间思考。

③在解决问题之前，提供支持性信息帮助

问题可分为简单问题和复杂问题。简单问题开始之初，应该尽可能使其熟练，达到自动化程度，从而减少加工时占用的认知资源，使之成为学生的图式结构稳定下来。在学生熟悉之后还给出支持性信息，就会变成负荷。对于复杂问题，如果为其提供一定的帮助信息，可以促进其问题解决。对于专有知识，针对问题提示和经验性的方法提供。因为给出启发，学习者不一定会得到正确的答案。研究表明，这些支持性的信息在学习者问题解决过程中呈现，发挥的作用有限，难以促进图式的建构和问题解决能力的迁移。因为支持性信息有同样高的认知负荷。如果在学习者学习过程提供支持性信息，学习者需要将注意分散在学习任务和支持性信息两部分，会增加工作记忆的负荷。更高效的方法是，在学习任务开始之前，分析支持性信息的内容，在长时记忆中建立起一定的认知图式，在学习过程中只需要把已有的图式激发即可。比如，在证明线段相等时，提示有哪些方法可以证明线段相等，如全等，等量代换，平行四边形性质，等角对等边等。求线段长度，有哪些方法可以求，如勾股定理，等量关系，相似，等面积法等，给学生指明证明的一个方向。又比如，在代入消元解二元一次方程组 ，如果学生没有经历代入消元这个过程，学生不易接受消元的想法，而且即使是经历过，没有达到一定量的時候，也难以内化成自己的知识结构去。

呈现二元一次方程组。让学生先不急动手，而先提示：本题表面看是两个未知数，但实际上只是不知道谁的值？你是怎样求解出来？代入之后发现方程有几个未知数？你会求出该方程组的解？学生解出该方程之后再给出另一组二元一次方程组，同样，引导学生关注这两道不同。

方程①是什么意思？上一个小题给你什么启示？然后可以让学生自己尝试去解方程。

④加强小组合作

认知脑科学，科斯科讷等人的研究表明把复杂的任务分配给几个学习者减少个人的认知负荷。小组合作中人数越多，不仅仅相当于工作记忆的容量简单增大，长时记忆的宽度变大，而且小组成员之间的认知结构可以互相互补，形成更稳定的结构。所以，合作小组的个体可以减少负荷，并且，学习任务越复杂有效。众所周知，一次函数图象的性质，比较抽象，对于优生或后进生来讲，没有充分经历这个过程都是一个难点。因为他们第一次接触到表达式中涉及两个变量，需要用控制变量法研究问题。笔者教学中，尝试更多地学生画出不同的一次函数的图像，提供的函数越多，越有利于学生发现和归纳总结规律，学生接受度会更强。提供的图像必须具有一定量，才有对比可言，所以课堂上花的时间比较长。曾经一个教师是这样处理本节课，比较成功。学习一次函数图象的性质时，本节课先让学生回归正比例函数的解析式，图像和对应的性质，然后让学生通过画以下一次函数的图像（1） （2）  （3）  （4） ，猜猜想一次函数图象与k，b的关系。 然后，根据猜测，同组同学画分别写出不同情况下的一次函数解析式，并画出其图像，验证猜想。这样学生自己想的函数，自己去验证，不同学生完成不同的验证，分担了认知负荷，提高效率。

2.相关认知负荷和相应的数学教学策略

相关认知负荷是指学习者根据自己原有的认知结构，自主地把新知识纳入已有的认知结构中，形成新的图式，或者当遇到问题时，自动地从自己地认知结构中去提取图式所需要工作记忆。在学习过程中，相关认知负荷是通过对比，辨析，重组等活动，建构图式，以“组块”的形式将学习材料打包成块，分类存储在长时记忆中去。当面临问题时，又可以“解压”，拿出来用。经过整理后占用记忆容量小，使用便捷。相关认知负荷越丰富越是能够有效促进学生学习，相关认知负荷越丰富越能够将认知资源合理的分配到有效的学习活动中去。而数学学困生刚好相反，他们往往在这样方面比较缺乏，知识结构零散，当需要运用时，需要耗费大量的认知资源去慢慢推理，去认知结构中寻找以往的解题步骤或者过程。

（1）放慢节奏，促进自我解释，建构图式

课堂中，放慢教学节奏，尤其是新课内容，或者是相对比较难地知识点，要给充分地时间给学生自我消化，自我解释，即学习者在学习过程中用自己原有地知识，去理解新的知识，去解释新的（下转第5版）（上接第4版）知识，并将新的知识内化到自己原有的认知结构去。大量研究表明，学生在样例学习时，给时间学生消化每一步的依据，分析每一步的基本原理，明白这样的理由，促进学习者解决能力的迁移。比如，在学习代入消元法解二元一方程组，笔者给学生提供以下样例。

1.解方程组 ①

②

解：把①代入②，得

3x+2（2x-0）=50

解得x=10

把x=10代入①，得y=10

∴这个方程组的解是

然后让学生思考，原方程组有几个未知数？上述解方程3x+2（2x-10）=50是如何得出来的？然后让学生关注代入之后的方程3x+2（2x-10）=50中2（2x-10）这部分中括号前为什么有个2，学生自己解决过程中容易漏了这个系数，特别是当这个系数和括号中未知数系数相同时，学生更容易遗忘。这一步骤称为代入。代入之后再仔细观察3x+2（2x-10）=50，它只有一个未知数，可利用之前学习的知识解决问题。这原本是一个二元一次方程组，其中有两个未知数，通过代入消去其中一个未知数，变成一元一次方程，这过程称为消元。在已经求出其中一个未知数的情况下，如何求解另一未知数。样例中是把x=10代入①，得y=10  。把x=10代入②，可以吗？结果会是多少？讓学生自己完成。回顾整个解题过程，第一步骤是？代入的目的为了？解出一个未知数后，如何求出第二个未知数？最后把方程组的解表示出来。在整个过程中每一步具体是怎么得出来，目的是为什么等，最后，一个整体的思路回顾，让学生经历自我解释。样例学习提供示范，自我解释除了一个回顾过程，还是对样例每个步骤为什么这么做的原因的一个探究，有利于刚建构的图式更加稳固，有理有据，有利于变成长时记忆。

（2）变式练习，促进图式建构

变式练习，促使学生对问题进行深度加工，抓住问题的本质，建构问题的认知图式。所谓变式练习，就是将原有题目的某些条件强化或弱化，或者条件与结论互换的练习。通过变式，重点让学生把注意力去关注原有题目与变式题目中的区别，表面看是在一定程度上增大认知负荷量，但是变式实际上是对学生的认知结构的进一步完善和扩宽，使得认知结构更加清晰，条理，有利于知识迁移，它增加的负荷属于相关认知负荷。

（1）如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，PA=4㎝，则有PB=_______（2）如图，已知MP、NQ、PQ是⊙O的三条切线，切点分别为M、N、T，PM=4，NQ=9，则PQ=______（3） △ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于D、E、F，且AB=9cm，BC=14 cm，CA=13 cm，求AF、BD、CE的长。

（4）已知在Rt△ABC中，，AC=12，BC=5，△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于D、E、F，求⊙O的半径。

数学教学过程中，教师充分做好任务分析，备好学生和教材，以减少外因型的内在认知负荷;做好章前旧知识回顾，帮助数学学困生巩固知识结构，减少内因型的内在认知负荷;增加样例学习，多样的呈现方式，调动多感官，问题解决前提供支持性信息帮助，减少外在认知负荷;放慢节奏，促进自我解释，变式练习，建构图式，增加相关认知负荷，等，帮助学生减少数学认知负荷。教无定法，教学过程只有不断摸索，教学才会越来越高效。

参考文献：

[1]陈燕，罗增儒，赵建斌.从认知理论看数学错误[J].数学教育学报，2009.

[2]辛自强等.基于认知负荷理论的数学学优生教学[J].教育学报，2012.

[3]薛莺，陈峰.数学课堂微体验，经验积累大提升[J].中学数学教学参考，2014.