基于核心素养下高中学生数学运算能力培养初探

许碧玉

【摘要】核心素养是学生在成长发展过程中必须具备的一个重要元素，对学生的学习与发展至关重要。其中，数学中运算能力是数学核心素养之一。然而，高中阶段学生运算能力低下是学生数学成绩和素养提升的瓶颈。现就教学中如何提升学生的运算能力，提升学生的数学核心素养，提高学生的数学学习成绩等方面进行论述。

【关键词】高中;数学运算;核心素养

《高中数学课程标准2017年版》（下称《课程标准》）对高中数学知识体系进行了新的定位和分类，对课程的结构进行了新划分，取消了文理分科。但不管怎么改革，其中贯穿的数学核心素养依然不变。明确地给出了数学学科核心素养的六个主要方面，即数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象和数据分析，并从概念的界定、及其在数学与生活中的作用和意义方面进行了描述。

同时，《课程标准》对数学运算的解释是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的过程。主要包括：理解运算对象、掌握运算法则、探究运算方向、选择运算方法、设计运算程序、求得运算结果等。

笔者所在的学校是一所完全中学，普遍学生学习数学的积极性不高，学生的数学水平大概在全市40%的位置。笔者经常思考50%-60%的学生该如何上好这数学课？因为很多学生在课堂上，基本的概念和知识通过老师的引导和讲解都能掌握，而在解题过程中既慢又经常出错，数学运算成为学生学习成绩提升的瓶颈。

如，在习题课的讲评中，老师除了要引导学生对题目所涉及到的知识点进行分析和梳理，还需要对题目中的运算花大量时间去板演和讲解。若把计算过程留给学生，既能让学生训练又能节省课堂的时间，可是学生花在运算上的时间是个无底洞，经常学生没能求得正确运算结果，该节课的教学内容完成不了。几节课下来，既要引导学生梳理知识点又要板演解题过程，学生也就真的是在“听课”了。这样一来，学生的“瓶颈”解决不了，还可能越走越远。

那么，在教学中如何提升学生的运算能力，提升学生的数学核心素养，提高学生的数学成绩呢？

一、掌握运算法则，理解运算对象

运算能力的培养与发展是一个长期的过程，应伴随着数学知识的积累和深化，从简单到复杂、从具体到抽象，有层次的发展。只有掌握了运算法则，理解运算对象才能提升运算的能力。

例如，高中数列求和方法中的“裂项相消”，在数列这一知识板块中是比较基础的，要求学生一定要熟练掌握。但是，当课程结束后，过段时间进行测试时，发现很多学生不会运用这个方法进行解题。究其原因就是没能掌握运算法则，理解运算对象。

例：已知数列的前n项和为，且，求。

解：  ……①

……②

一部分学生在第一步向第二步化简的过程中不能解答。其实，该题只是利用初中的知识点“分母有理化”，将

很明显，此类题目特别要求学生对分母有理化方法的熟练掌握，并且形成如果通项公式的对象是分母为无理数时，首先应考虑分母有理化，完成化简后自然就水到渠成了。

教学感悟：对于这样的运算，学生不能熟练运用 “分母有理化”，那就成为解决这类题型的一个瓶颈。但为了保证能够完成教学任务，不可能花时间在这一方面的训练。所以，在初高衔接过程复习中，这一知识点的教学就应该让学生做适量的有效的训练，使得学生在看到分母为无理数时就先考虑有理化成为一种“数感”，牢记在心。这样才能在熟悉的数学情境中了解运算对象，形成最合适的运算思路，进而解决实际问题。

二、探究运算方向，选择运算方法

在高中数学中，对学生的运算教学已经不是重点，但是不少题目的运算量却是挺大也难（如，解析几何、函数与导数等），这好像相互矛盾。针对高中很少在课堂上重点讲解運算过程或是训练运算，但是学生的运算能力一直是考查的目标之一。因此，笔者认为，必须引导学生探究运算方向，选择好运算方法，才能更好地提升学生的运算能力，形成学生的数学核心素养。

例：（2015年高考全国卷1）在平面直角坐标系xOy中，曲线与直线交于M，N两点.

（1）当k=0时，分别求C在点M和N处的切线方程;

（2）问：y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有？说明理由.

解：（1）略.

（2）假设存在点P（0，p）使得命题成立，即有.设直线PM、PN的斜率分别为k1，k2则有k1+k2=0，设点， ， 同理可得  .

联立方程： 消去y，可得

显然当a>0时，.

则由韦达定理可得：

，  .

=0.

. ……①

. ……②

. ……③

-8ak+（a-p）4k=0.

∴k（p+a）=0.

解得p=-a或k=0（显然成立）.

∴存在点P（0，-a）使得命题成立.

以上题目，单独从知识点来讲，难度应该是中档略偏低，然而这类题目的运算往往成为不少学生的拦路虎，究其原因就是运算过程中的步骤①②③。纵观众多学生的解答过程主要出现以下的问题。

其一，未能真正理解解析几何运算的基本原则是尽量减少未知数的个数，不懂得将四个未知数减少成两个未知数。即，未能将 ， 进行变形，真正理解掌握“设而不求”。

其二，未能明确运算方向，选择恰当的运算方法。如在步骤②中，部分学生会全部展开成： 未能明确运算途径应该借助“韦达定理”。而且往往会这样运算的学生，他们是比较盲目地见括号去括号，为了计算而运算，心中没有明确的目标，所以也就很难再想到提公因式法运算至步骤③。

教学感悟：正确的运算方向应该是借助“韦达定理”，保留x1+x2，，最后再利用韦达定理代入化简可得。可见，培养学生明确各类题型的运算方向，就能够针对运算的问题，选择正确的运算方法设计运算程序，从而解决问题。

三、设计运算程序，求得运算结果

《课程标准》指出能够用程序思想理解和表达问题，理解程序思想与计算机解决问题的联系是核心素养之数学运算的最高水平。因此，设计运算程序，自然要运行程序框图。

例，《九章算术》中的“两鼠穿墙”问题为“今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢？”可用下图所示的程序框图解决此类问题。

现执行该程序框图，输入的d的值为130，则输出的i的值为（    ）.

（A）5    （B）6    （C）7    （D）8

分析：从问题的描述可知，这是一个“合作完成工程”问题，可以转化为大鼠和小鼠两鼠的“工作量”之和。程序框图中变量x表示大鼠当天的工作量，变量y表示小鼠当天的工作量，变量S表示两者工作量之和，显然两鼠工作量构成等比数列。

变量x：

变量y：

变量S是两个等比数列的前n项和

∴S﹤130时，n的最大值为7，但还是进入循环体一次，所以计算得到i=8。故选D。

但在实际解答中，不少学生选择了C选项。主要原因是读不懂程序框图的意思，无法正确理解程序所表达的运算。在数学运算上思维不够严密，对运算的范围不够了解。

教学感悟：学生在设计或是阅读程序过程中，能够用程序思想理解和解释问题是解题的关键。

近年来，经过教学实践，笔者大胆尝试运用多方形式对学生进行引导和训练，使学生在学习中尝到了乐趣，在竞争中学习动机得到提升，收到突出的教学效果。今年所带高三文科数学，以文科班（7）班的數据为样本统计如下：

总之，数学运算是数学活动的基本形式，也是演绎推理的一种形式，是得到数学结果的重要手段。数学运算之于计算机可以说是CPU，数学运算之于学生是解题过程的一个路径，是决定学生能不能到达巅峰，决定学生在这一过程所用的时间及结果的正确性。事实证明，在高中数学运算教学中，运用多方形式对学生进行引导和训练，让学生能够进一步发展数学运算能力，有效地借助运算方法解决实际问题，通过数学运算促进数学思维的发展，养成程序化思考问题的习惯，形成一丝不苟、严谨求实的科学精神，这对于提升学生的数学核心素养，提高学生的数学学习成绩，促进学生全面发展意义重大。

当然，高中数教学中提升学生的运算能力，提升学生的数学核心素养，提高学生的数学学习成绩是一个复杂而系统的工程，不是一朝一夕的事情，还需要在实践中不断探索、总结，才能取得更好的效果。

参考文献：

[1]教育部.高中数学课程标准2017年版[M].人民教育出版社.