相似三角形中的分类讨论

李文芳

摘要：分类讨论思想是一种常见的数学思想，由于有些数学问题的题设或结论的不唯一确定，使问题存在许多种可能情况，因此要按可能出现的各种情况分别加以讨论。运用分类讨论的思想来解决相似三角形问题是近年来中考数学命题的热点。然而不少学生在学习之初，对这类问题的图形识别能力很差而且分类混乱。

关键词：相似三角形;分类讨论;基本图形

一、认识基本图形

相似三角形中的分类讨论问题中大多存在一对已确定的对应元素，如一组对应点或一组对应角或一组对应边。因此，将原本两个三角形相似有六种可能对应的情况缩减为两种可能。

例1.如图1， D为AB边上的一点，点E为AC边上的点，要使△ADE与△ABC相似，你能作出几个符合条件的点E？请画出图形。

或

图1        （基本图形1）

例2.如图2，△ABC中，AB=15，AC=12. D为BA延长线上的一点，点E在CA的延长线上，且AD=6. 要使△ADE与△ABC相似，求AE的长？请画出图形再求解。

或

图2              （基本图形2）

分析：△ADE与△ABC有公共顶点A，有公共角∠A，即对应顶点为A和A，对应角为∠A和∠A，对应边自然为BC和DE。此时，无论从点、角、边任何一个角度去考虑，都有一组已确定的对应元素，所以相似缩减为两种可能。

解法1根据“有两个角对应相等的两个三角形相似”可知要使△ADE与△ABC相似，只要使∠ADE=∠B，即DE//BC，或者∠AED=∠B。

解法 2根据“两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似”可知，要使△ADE与△ABC相似，只要使 或

例1、2是分类讨论思想在三角形相似中的最简单的运用，我们平时见到的很多问题都是基本图形的适当变形。

（基本图形的常见变形）

二、巩固应用

应用 1点P是△ABC中AB边上的一点，过点P作直线（不与直线AB重合）截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，满足这样条件的直线最多有多少条？

分析   因为没有明确直线与AC边还是BC边相交，所以先分两类讨论，而这两类情况下又分别有两条直线符合题意，故共有4条。

图3

应用 2已知RtΔOAB在直角坐标系中的位置如图3所示，P（3，4）为OB的中点，点C为折线OAB分割成两部分。问：点C在什么位置时，分割得到的三角形与RtΔOAB相似？（注：在图上画出所有符合要求的线段PC，并求出相应的电C的坐标）

分析   不难看出应用2是应用1的变式。根据点C所在线段的不同，先分两类讨论，即点C在线段OA上与点C在线段AB上。

情况一：当点C在线段OA上时，分割得到的三角形是ΔOPC，它与ΔOAB有公共角∠AOB，根据“两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似”可知，要使ΔOPC与ΔOAB相似，只要使或，代入數据后，可分别得到一个关于OC的方程或，所以OC=3或OC=。因为〉OA=6所以OC=应舍去。所以当点C在OA上时，坐标为（3，0）

情况二：当点C在线段AB上时，分割得到的三角形是ΔBPC，它与ΔOAB有公共角∠ABO，同理可知，要使ΔBPC与ΔOAB相似，只要使或。代入相应数据后，亦可分别得到一个关于BC的方程或，所以BC=4或BC=。所以AC=4或AC=8-=，所以当点C在AB上时，坐标为（6，4）或（6，）。

以上給出的解法是根据“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”，通过构造方程找到边的长度，从而确定坐标。但此题中ΔOAB是一个直角三角形，所以当发现分割所得到的三角形与ΔOAB有公共角时，也可根据“有两角对应相等的两三角形相似”，分别过点P作OA，AB，OB的垂线来构造直角三角形，在此直角坐标系中，也能轻松得到答案。

用上述类似方法解答的相似三角形中的分类讨论问题还有很多，有的还可以与双动点问题结合，可以与抛物线相结合，虽然嵌入的背景各不相同，但分类方法基本相同。

参考文献：

[1]用分类讨论法解相似三角形“截线”问题 · 魏从波 · 江苏省南京市金陵中学河西分校，210019

[2]分类讨论思想在相似三角形中应用 · 汤永东 · 浙江省象山县高塘学校315734