浅析立体几何的直观性与课堂的高效性

刘仁明

[关键词：立体几何;直观性;高效性]

在正方体ABCD-A1B1C1D1中，三棱锥A1-BC1D内切球的表面积为4π，求正方体外接球的体积。

立体几何是培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力的有效途径，直观性原则更是让学生学习锦上添花。如何引导、发现、解决、激发兴趣，培养能力呢？需要善于捕捉信息，适时拓展，让学生迸发出思维的火花。

一、规范的图形使思维活跃、空间位置关系直观清晰

正确做出直观图形，如图1。

通过图形发现三棱锥A1-BC1D为正四面体，它的中心就是正方体的中心且到顶点的距离就是外接球的半径。

结论：若锥体顶点为长方体顶点则锥体外接球即为长方体外接球。

二、靈活确定底面，有利于求出有关需要的长度

由于正四面体可以用任何一个面为底面，摆正图形，如图2.根据直观图明确球心就是正四面体的中心，既是内切球又是外切球的球心，通过构建相关的直角三角形可解出相关线段关系。

三、加深理解，提高效率

在图2中，设正四面体边长为a，∴BE=[32a]，

O1为△BC1D中心，∴BO1=[33a]，

[A1O1=AB2-BO12=a2-13a2=63a]

在Rt△BO1O中，[BO2=BO12+OO12=13a2+63a-OB2]

OB=[64a]∴[A1O∶A1O1=3∶4]即[OO1∶OA1=1∶3]

通过计算，我们发现外接球半径和内切球的半径之比为3∶1。让学生在学习中发现结论，享受成功的愉悦。

四、问题探究，激发兴趣

创设情境，激发学生独立思考的兴趣，通过开放式问题设置，培养学生的思考的深度，通过对解题策略的探究，在反思中提升思考能力。

解决立体几何问题一个重要思想即将立体问题平面化，类比三角形内切圆半径r，面积S，周长C之间的关系我们知道半径[r=2SC]，四面体中是否也有这样的关系呢？

正四面体的内切球的半径与它的体积之间有什么关系？让学生思考观察得到：

[V=4⋅13S△BC1D⋅r=13S△BC1D⋅A1O1]

∴r∶h=1∶4，则内切球和外接球半径为1∶3。

结论：四面体内切球半径r，体积V，表面积S间的关系即：[r=3VS]。

通过比较，使学生掌握结论的形成过程及不同途径，从而激发了学习兴趣。

五、巧用载体，理解关系

高效的课堂使知识理解掌握达到事半功倍的效果，能够利用适当的载体会使学习轻松有效。让学生做出四棱锥A1-BC1D的三视图如图3。

从而悟出三视图与几何体之间的内在联系：可通过恰当的载体转换，让三视图的理解进一步提高。

课堂是一门学问，更是一种艺术，如何使学生在知识的海洋遨游，享受学习的乐趣呢？充分利用直观形象的感知，巧设问题，让课堂更高效。