数学文化课程总体设计需要重视的几个问题

【摘 要】 数学文化是新世纪数学课程改革的重要组成部分，高考数学改革的趋势将进一步促进数学课程与人文学科的整合。数学文化课程要加强系统化的总体设计，要着重阐述数学在人类文明发展中的作用，全面认识中国数学文化的长处与不足，从真、善、美的高度揭示数学文明的价值，促进西方数学与中华文化的交流与整合。

【关键词】 数学文化；课程设计；系统化设计；问题

新世纪的数学课程改革，将数学文化作为数学课程的重要组成部分。这是一次深刻的思想改革。随着高考数学考试不再实行文理分科，数学课程也将文理不分。这势必进一步促进数学课程与人文学科的整合。与此同时，数学欣赏也作为数学教学的目标之一开始进入课堂。如何加强数学文化课程的教学，还需要系统化的总体设计。本文拟做一探讨。

一、数学文化课程要着重阐述数学在人类文明发展中的作用

数学文化的教学，在我国已有多年的历史。1949年以来，数学教学强调贯彻辩证唯物主义思想，培育爱国主义观念，因而教材涉及许多数学史的材料，以体现数学的文化内涵。这些材料一般包括三大部分：一是中国古代数学领先于世界的内容，如中国最早使用负数，祖冲之在圆周率计算上的成就等；二是国外最先使用数学符号的历史，如加减乘除符号以及大小括号的创始人等；三是介绍一些知识，如完全数、哥德巴赫猜想等。这些材料的阐述，大多局限于数学历史知识的介绍，尤以突出中国古代数学成就、增强民族自豪感为依归。

进入21世纪之后，我国正式提出了数学文化的教学要求。《义务教育数学课程标准（2011年版）》明确指出：数学文化作为教材的组成部分，应渗透在整套教材中。为此，教材可以适时地介绍有关背景知识，包括数学在自然与社会中的应用，以及数学发展史的有关材料，帮助学生了解数学在人类文明发展中的作用，激发学生学习数学的兴趣，感受数学家治学的严谨，欣赏数学的优美。例如，可以介绍《九章算术》、珠算、《几何原本》、机器证明、黄金分割、CT技术、布丰投针等[1]。这段论述的核心在于“帮助学生了解数学在人类文明发展中的作用”。不妨认为，这是数学文化教学的一项总目标。

一般认为，文化是多元的，具有各种不同的内涵和民族色彩。因此，其既有进步的成分，也有一些落后的成分。而人类文明则是世界各国、各民族的文化精华的总和。数学文明是人类文明的组成部分，在某种程度上说，数学文明又往往是人类文明的火车头。因此，数学文化的教学，要与人类文明的进步相联系，尤其要着重体现数学理性文明的先导特征。一旦从人类文明的高度来认识数学文化，就会有新的境界、新的视角、新的气派。

自古以来，人类文明总是和数学文明相伴而生，而数学则往往处于先导地位，率先影响着人类文明的发展[2]。

首先来看古希腊文明。这是人类文明的第一个高峰。毕达哥拉斯数学学派，阿基米德的伟大数学贡献，亚里士多德的逻辑思想体系，都是人类文明的瑰宝。柏拉图学园“不懂几何者不得入内”的标识，突显数学的地位。尤其欧几里得的《几何原本》，更是人类理性文明的代表作，它的影响之深远，怎样估计都不会过分。

人类文明的第二个高峰是从17世纪开始的近代工业文明。它以牛顿和莱布尼茨等创立微积分为先导，开创了力学、热力学、光学的科学黄金时代，并进一步触发了产业革命。在这一时期，数学继续起着火车头的作用。

再看19世纪至20世纪初的现代文明。这一时期的数学文明依然起着先导作用。流体力学方程、弹性力学方程、热力学方程以及电磁学方程，为机械、航空、海洋、通信等领域的现代技术文明提供了基础。 与此同时，非欧几何的发现、复数的使用、抽象代数的诞生以及分析学的严密化，开创了纯粹数学的新时代。爱因斯坦建立相对论使用的数学工具是微分几何。量子力学的基础则是泛函分析。数学文明在这一进程中继续领先一步。

最后，让我们观察20世纪下半叶诞生的信息时代文明。信息时代的计算机技术改变了人类的生活方式。这一技术建立在数学家冯·诺依曼于1946年提出的存储程序通用计算机原理基础之上，其框架一直持续到今天。1948年，数学家诺伯特·维纳创立的数学控制论、克劳德·香农创立的数学信息论成为开启这一时代的标志。

以上四个重大的人类文明阶段，除古希腊文明外，都涉及高等数学。因此，在基础教育阶段，我们不可能让学生十分真切地了解整个数学文明的巨大价值。但是，我们必须用尽可能通俗易懂的方法，将数学文明对人类文明的影响告诉年轻的学子。正如在中小学阶段要向学生介绍相对论、原子能、星际航行、3D打印、纳米技术、转基因、克隆等现代科学技术，数学课程也应该在通俗水平上，向青少年介绍数学文明。这就是说，数学教学不能只是埋头做题，还要放眼世界，了解数学，理解数学在人类文明发展中的作用。数学教学讲好数学文明故事，是分内之事，是刚性约束。这需要整体设计，列入课程标准，写入教材，并力求进入考核内容。

数学大师陈省身先生一再提倡做“好的数学”，并且指出“方程是好的数学”。这就是说，方程是人类数学文明中的精华。在方程的教学中，不应停留在背诵“含有未知数的等式”这样的肤浅认识上，而是要着重于“如何从已知出发，通过某一种关系去寻求未知”，即从方法论的高度去理解。这就好比侦探破案，要抓住未知的犯罪嫌疑人，必須从现有的已知案情出发，通过某种线索（一种和未知的嫌疑人有关的关系）找到嫌疑人。因此，关于什么是方程的回答，应该描述为“为了寻求未知数，在已知数和未知数之间建立的一种等式关系”。

方程思想，是人类数学文明的奇葩。在人类四大文明（古埃及文明、古巴比伦文明、古印度文明以及中国文明）里，就有解方程的记载——从一次方程、高次方程、线性方程组、高次方程组直至微分方程组。可以说，大自然的规律是用方程写成的。今日之世界文明，如发动机与热力学方程，飞机与空气动力学方程，手机与电磁学方程，物理世界与爱因斯坦方程，都以“方程”为基础。讲好这些方程的故事，是数学文化教学不可缺少的内容。

这几个案例表明，中小学数学教学的内容虽然只涉及数学文明总体的很小一部分，但是如能具有广阔视野，精心设计，见缝插针，还是有许多工作要做的。

二、全面认识中国数学文化的长处与不足

每个民族都有自己的文化，也就一定有属于这个民族文化的数学。源远流长的中华文化产生了中国古代数学。

在世界四大文明中，中国数学文明的形成相对比较晚。不过，由于各个数学文明都是独立创建的，时间的早晚并不紧要。从理论上说，古希腊数学以演绎推理的方式建立了数学理性文明，中国古代数学则以长于计算及算法体系享誉世界。以祖冲之为代表的数学家，在计算圆周率等问题上成就卓著。

中国古代数学产生于春秋战国时期，以谋士服务于帝王管理国家的方式呈现出来。因此，其长于计算，实用性比较强，在十进制、小数的使用以及负数的引入等有关计算的问题上，具有特别的贡献，领先于世界计算水平，代表性著作《九章算术》就是以计算程序解决一系列实际问题而展开的。后来，加上算盘的使用，中国古代数学在丝绸之路和海上贸易方面发挥了重要作用。

但是，中国古代数学文明缺乏演绎几何学的研究，特别是没有形成角的概念，没有角度的大小度量制度。至于三角比、三角学等就更谈不上了。

令人遗憾的是，数学科学在中华传统文化中的地位不高，在科举取士的体制里数学家并未成为一种在社会上得到尊重的职业。早期的科举考试设有明算科，唐朝设立过算学博士，但很快就被取消，算学始终未能进入中华文化的主流。长期以来，中国古代数学的传承只能是一种民间活动。在四大古代数学文明中，中国数学形成较晚。

中国古代数学是四大人类文明的组成部分，虽然总体上发展比较晚，但是有其自身的优势，有其独立的体系和独创的辉煌。当然，也有不足的一面。知己知彼，才能百战百胜。更好地了解自己，是为了更好地前进。

三、从真、善、美的高度揭示数学文明的 价值

数学教育领域谈论数学欣赏，在我国已有几十年的历史。早先，所谓欣赏数学之美，无非是黄金分割、蜂房结构、五角星之类的外观美。后来进一步，从国际数学名家那里学习、领会数学的内在美，包括统一美、和谐美、简洁美、冷峻美、奇异美等。这些美感都源于高等数学，与中学数学的关联实在不多。

中小学数学文化和数学欣赏的教学设计，应从真、善、美这三个层面加以展开。

真，是本真之美。返璞归真，理解数学概念的本质，是欣赏数学美的基础。例如，三角函数（指正弦函数和余弦函数）的本真在于将做等速圆周运动的质点在两个坐标轴上的投影的运动规律表示出来。

善，是美好的表现。数学文明的伟大，在于能够推动人类文明的进步。在教学中，要揭示抽象数学概念的重要意义、数学定理的应用价值以及数学思想体系的深远意义。例如，三角函数之善，在于它是波动的数学模型；大自然中有声波、电磁波、光波、引力波等，它们支配着我们的生活。

美，则是体现数学对象的美丽形象，包括外在美和内涵美。数学的美有三个层次：首先是外观之美，如几何图形之美；其次是美好，如勾股定理表示的和谐与对称；最后则是美妙，如三角形的三条高交于一点，出乎意料，但却在情理之中，令人叫绝，这就是美妙的意境。

我们来看看均值不等式的真、善、美[3]。

人教版教材在引出此不等式时，要求学生从几何图形出发，用中国古代数学的出入相补原理进行探究。这是一个别开生面的设计，充分展示了均值不等式的真、善、美。教材这样引入：

教材的这段文字蕴含着深厚的数学文化和真、善、美。

首先，教材借鉴了三国时期数学家赵爽在证明勾股定理时所用的出入相补原理，可将均值不等式的“真”一览无余。

其次，赵爽弦图是数形结合的一个绝佳范例。纯粹用代数方法证明均值不等式固然重要，但是用出入相补原理加以解释，使得理性思考与直观感受完美统一。这是数学的一种至善的境界。

最后，弦图模型更是体现了视觉之美：对称美与和谐美。特别是该模型像中国传统的风车，是古老的中华传统的一个缩影，旋转的风车代表具有悠久历史的东方古国好客热情，欢迎来自全世界的朋友。鉴于此，它成了第24届国际数学家大会的会标，以彰显中国古代数学家的聪明才智和独具匠心。

数学之美，在于它的普遍性和多样性。百川归大海，殊途同归。多角度地审视均值不等式，从而进入了“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”的境界。数学欣赏是体现“情感、态度与价值观”教学目标的有机组成部分，在教学方法上应该遵循“润物细无声”的原则。在日常教学中，数学要先着重理性把握，打好基本功，再在理解的基础上谈数学欣赏。没有理解，谈何欣赏？凡是你真正欣赏的人和事，必定是深入理解的。欣赏，是在基本理解的基础上做进一步的深入理解。因此，日常教学中的数学欣赏，只能结合内容的阐述，点到为止。然而，到一个单元结束时，我们是不是应该用欣赏的角度，对已经基本理解了的内容做一番欣赏呢？教材里有“本章小结”栏目，如果说画一张“本章知识逻辑框图”是一次“以理服人”的回顾与总结，那么，一场充满高尚情感的数学欣赏活动，则是“以情感人”的激励与享受。

四、促进西方数学与中华文化的交流与整合

我国当前基础教育阶段的数学课程，并非中国古代数学的延伸，而是全盘从西方引入的。因此，如何将西方数学与中华文明进行适度整合是一项必须完成的课题。

中华文化与西方数学“联姻”，并不是一件新鲜事。我国具有浓厚爱国主义情结的数学前辈，曾经在20世纪50年代掀起过一个将西方数学本土化的高潮。就以现今通称的勾股定理来说，在民国时期的数学教科书里，都称为“毕达哥拉斯定理”。这一定理更名的过程并不简单。如果翻开20世纪50年代中国的数学杂志，就可以看到许多文章在探讨此事。有人建议称之為“商高定理”，也有人认为叫“陈子定理”较为合适。最后大家倾向于不以人名命名，而是直接点明其内容，称之为“勾股弦定理”。为简便起见，最终称为“勾股定理”。这一名称得到数学教材编写者和广大教师的高度认同，得以写入教材、进入课堂，一直沿用至今。此后，中国古代数学的成就继续进入中小学数学课程：“杨辉三角”代替了“巴斯卡三角形”；刘徽的割圆术、祖冲之的圆周率研究成为数学课程进行爱国主义教育的重要内容……此外，当时的高中数学教材有无限等比数列的内容。由于数列{1/2[WTBX]n[WTBZ]}是极限为0的无限过程，于是，有人引“一尺之棰，日取其半，万世不竭”（出自《庄子·天下篇》）加以比喻。这是中华文化和西方数学的巧妙融合，至今成为经典。可惜的是，这一进程没有很好地继续下去。

20世纪80年代，我国也曾有过一些创见。例如，宏观上有吴文俊先生提出中国古代数学传统的“算法”体系，其价值可以和《几何原本》相提并论；微观上则有徐利治先生认为“孤帆远影碧空尽”一句，可以表示连续量趋于零的过程（这一形象的描绘，乃“一尺之棰，日取其半，万世不竭”比喻的发展）。但是，这些见解没有真正形成一种强烈的教学理念，因而也就没有真正地进入数学课堂。

21世纪初我国进行的大规模数学课程改革，曾经大量地引进和借鉴西方的做法，诸如数感、符号感、估算等相继进入了人们的视线。然而，这场改革并没有提出数学教学与中华文化互相融合的目标。一个突出的例子是把体现中国古代数学传统的“珠算”從《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》中删除。所幸，《义务教育数学课程标准（2011年版）》让算盘重回课堂，要求学生“认识算盘”，能用算盘表示多位数。这是一个恢复性的改进。但是从总体上看，《义务教育数学课程标准（2011年版）》在数学教学和中华文化的融合上，并没有跨出新的步伐。翻开今天的数学教材，提到中华文化的地方，依然是杨辉三角、刘徽割圆、负数引入、祖冲之的约率和密率那几个熟悉的题材。

西学东渐以来，我国学者从中华文化的角度来诠释西方数学，有许多已经成为文化经典。我们需要加以继承发扬，代代相传，形成传统。

《道德经》里非常出名的一段是：“道生一，一生二，二生三，三生万物。”这13个字，简直是一组中国化的自然数公理：自然数是一个接一个地“生”出来的，1“加1”就能生出2，2再“加1”就能生出3，不断地“加1”就能生出“万”；自然数里有1，2，3，…多得不得了，没完没了；1前面还有一个“道”，在数学上用0表示。

更进一步，细细品味《道德经》中的这段话，还可以发现它和高中数学的数学归纳法教学有十分密切的联系。众所周知，数学归纳法原理是与自然数公理等价的。一生二， 二生三，相当于数学归纳法中[WTBX]n=1，2时，命题成立的要求。最后的目标是获得“三生万物”的结果。然而，要“生”出“万物”（自然数全体）来，必须要每个与n有关的命题都能“生”出与n+1相关的命题。这不正是数学归纳法原理的精髓吗？总之，强调一个“生”的动词，保证每个n[WTBZ]命题都能“生”，做到“生生不息”。

《道德经》里蕴藏着的智慧，值得我们细细品味。

综上所述，数学文化和数学欣赏的教学，还是一片尚未充分开发的沃土，值得我们不断开发，使之形成百舸争流、广厦万间的新局面。

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[S].北京：北京师范大学出版社，2012.

[2]张奠宙，王善平.数学文化教程[M].北京：高等教育出版社，2013.

[3]沈金兴.“形神兼备”之均值不等式欣赏[J].中学数学教学参考，2015（25）：7-10.