问题让探究发生——“围圆柱的奥秘”教学实录与思考

◇陈瑞华

“围圆柱的奥秘”这节课来源于北师大版教材六年级下册第一单元“圆柱与圆锥”中的一个实践活动，目的是通过“用长方形纸卷圆柱”的探索活动，鼓励学生应用所学的圆柱表面积和体积的知识，经历探索规律的过程，体会一些变量之间的关系。

一 创设情境，引入课题

师：今天老师带来了一张长方形卡纸，用这张卡纸可以做什么呢？

生1：可以做一个没有上底和下底的圆柱。

师：可以做一个圆柱，怎么做？

（请生1 上前示范，把长方形纸横着围成圆柱）

师：他是做成这样子的，还有别的做法吗？

（生2 把长方形纸竖着围成圆柱）

师：两个同学的做法有什么不同？

生3：生1 是横着围圆柱的，长方形纸的长是圆柱的底面周长。

生4：生2 是竖着围圆柱的，长方形纸的宽是圆柱的底面周长。

师：观察得很仔细。今天我们就一起来研究用长方形纸围圆柱的奥秘。（出示课题）每个小组有两张跟老师手中一样的卡纸，请你们按照不同的围法，把它们围成圆柱。

学生活动：用卡纸围圆柱。

【反思】以数学的眼光看一张纸，基于平面到立体，通过思考、想象、操作，把二维的面和三维的体进行转化，学生通过动手围一围的活动感受平面到立体的变化。

二 合作研究，猜测验证

提出问题：用同一张长方形卡纸围圆柱，哪种围法体积大？

（一）猜测。

师：猜一猜，哪个圆柱的体积大？

生：横着围的圆柱体积大，因为比较粗。

生：我觉得竖着围的圆柱体积大，圆柱虽然不粗，但是比较高。

生：我觉得是一样大的，因为它是用同样大小的纸围成的。

师：有三种猜想，到底谁说得对呢？我们该怎么办？

生：我们需要计算、验证。

师：是的，可以通过计算来验证。想一想，计算时我们需要哪些条件呢？

生：我认为需要知道圆柱的高。

生：还要知道圆柱底面的半径。

生：我认为只要知道这张纸的长和宽就可以了。

师：经过测量，这张长方形卡纸长27 厘米，宽19 厘米。小组合作，求出这两种圆柱的体积，并填写在表中（表略）。

（学生活动，教师巡视）

（二）验证。

（教师出示一个小组的表格，如表1)

师：请这个小组和大家分享一下。

表1

师：请大家看看你们的数据，跟屏幕上的是一样的吗？

（学生点头表示一样）

师：通过观察，我们发现怎样围成的圆柱体积大？

生：横着围的圆柱体积比较大。

【反思】这一环节以“怎么围体积大”这一问题为引领，通过问题让探究发生，学生在经历了操作活动的过程后，对长方形纸围成的圆柱有了进一步的认识。

三 不断追问，操作验证

提出问题：用同样的长方形卡纸围圆柱，怎样围体积会更大？

（一）猜测。

师：用一张长方形卡纸横着围成的圆柱，体积比较大。再想一想，还是用这张卡纸，能否围出体积更大的圆柱？

生：如果把卡纸分成两半再围，我觉得它的体积会更大。

师：你是怎么分的？

（学生做示范，将卡纸横着对折剪开）

师：拿剪刀从中间剪开，这张纸就变成了两份，把它们接在一起来围，是这样吗？

（学生表示能理解这种方法）

师：还有别的方法吗？

生：我认为也可以把纸竖着剪，再来围圆柱。

(教师操作课件，动态演示两种剪法与围法)

师：想一想，用这两种方法剪开后，围成的圆柱体积会更大吗？

生：（齐）会。

师：这是我们的猜测，到底对不对呢？现在我们来进行验证。请小组分工合作，一起来剪一剪、拼一拼、围一围、算一算。

（学生小组合作，剪、拼、围、算）

（二）汇报方法与算法。

师：请第九组的代表来说一说：你们是怎么做的？怎么算的？把你们做的圆柱和填的表格与大家分享。

（教师出示学生填好的表格并引导学生观察、比较，表略）

分析数据、发现规律。

师：为了方便大家进行观察，我把刚才我们得到的四组数据放在一起，请大家一起观察表2。

表2

师：这是四种围法，请你观察表格中的数据，发现了什么？

生：我发现又矮又胖的圆柱的体积大于又高又瘦的圆柱的体积。

师：我有一个疑问，什么叫又矮又胖？

生：指的是圆柱比较短又粗。

（学生拿出两个圆柱进行比较）

师：还有什么发现？

生：我发现它们的侧面积都是一样的。

生：我发现剪开后围成的体积都比原来的体积大。

生：我发现它们的底面半径越小，体积就越小。

生：我发现长方形纸剪开后围成圆柱的体积几乎是原来的两倍。

师：能不能尝试把我们的发现用一句话说出来呢？

生：底面半径越大，体积就越大。

生：我认为还要侧面积相等。侧面积相等时，底面半径越大，体积就越大。

师：还有别的想法吗？

师：（将四个圆柱从高到低排列好）从左到右，圆柱的底面半径越来越大，高越来越小，体积却越来越大。这是为什么呢？

生：因为圆柱体积公式中半径是平方，要乘两次，而高只能乘一次。

师：他的解释有没有道理呢？需要我们进一步思考。

【反思】“你发现了什么？” 这一问题的设计，让学生立刻进入思考阶段，通过比较数据，学生对“用同样大小的长方形纸围圆柱，半径越大，体积越大”这一规律理解得更加透彻。

四 拓展训练，科学说明

提出问题：为什么侧面积相等时，底面半径越大，圆柱体积就越大？

师：回忆一下圆柱体积计算公式的推导过程，是不是这样的？（课件出示圆柱及由圆柱转化成的近似长方体）谁来说说这个公式是怎样推导出来的？

生：把圆柱分成若干个小的“三角体”，把这些“三角体”拼接起来，形成一个近似于长方体的图形。这样转化之后，长方体的高就等于圆柱的高。长方体的计算公式是长×宽×高。

生：其中，长×宽就是它的底面积。

师：我们把圆柱切开以后拼成一个近似的长方体，“长方体”和圆柱的体积是相等的，所以，圆柱的体积等于底面积×高。

师：下面我们要换一种思路了。请大家看仔细了（操作学具，把“长方体”放倒），这时体积有没有发生变化？

生：没有变化，还可以用底面积×高来求体积。

师：想一想，底面积是多少？底面是哪个？

生1：底面就是原来圆柱的侧面。

生2：我补充一下，我觉得底面积是原来圆柱侧面积的一半。

师：高是什么？

生：高就是半径。

师：我们是否可以得到圆柱体积的新的计算公式？

生：侧面积的一半再乘半径。

师：真不错，我们一起推导出了一个圆柱体积的新的计算公式。这个公式和我们今天发现的结果有联系吗？

生：我们今天的结论是：当侧面积相等时，圆柱的底面半径越大，体积就越大。我们再看这个公式，公式是由两部分组成的，一个是侧面积的一半，还有就是半径。如果侧面积一样，体积的大小就取决于半径，半径越大，那么圆柱的体积就越大。

【反思】为什么侧面积相等时，底面半径越大，圆柱体积就越大？这一问题的设计主要是让学生知其然，还要知其所以然。学生借助学具操作，进一步解释了这一现象。

五 课后小结，总结收获

师：回忆一下，我们这节课学习了什么？

生：围圆柱的奥秘。

师：我们是通过哪些步骤得到这个奥秘的？

生：我们进行了猜想—操作，并用计算进行验证。

师：猜测、操作、验证，这是我们学数学的一种方法。我们可以用这种方法解决数学中的很多问题。

【反思】问题让探究发生，本节课以“问题串”的形式引领课堂，通过四个问题让课堂一步步走向深入，充分体现了以学生为核心，随着问题的推进，学生的思维不断向深处迈进，而不仅是一个规律的发现。