解释计算结果，促进算法理解——以除法竖式为例

◇游 迪

广西桂林市的陈燕虹老师在教学人教版教材四年级上册“笔算除法”时发现，学生在学习了 “被除数与除数同时除以10 以进行除法竖式简便运算”的方法 （如图1） 后，在求解820÷90 的余数时，有图2和图3所示的两种作答方式。

图1

图2

图3

在图2所示的解法中，学生类比图1，将被除数与除数同时除以10，并进行了正确的除法竖式计算，得到的余数为1； 图3则在图2的基础上，在余数“1”后添加了一个“0”，使得这一运算的结果余数为10。

陈老师观察到了这一现象，并对学生的观点进行收集。汇总后发现，学生中主要有以下三种观点：部分学生认为，图2所示的笔算方法是唯一正确的，且原式的余数为1，因为 “运算方法和图1相同，且没有计算错误”，而图3中在除法竖式的余数后面添加数字的方式不符合格式（视为观点1）；还有部分学生认为，图3所示的笔算方法正确，图2所示的笔算方法错误，因为“820÷90 的余数就是 10，而非1，所以应该添加一个‘0’得到正确的余数，图2中的计算结果有误”（视为观点2）；其他学生则综合上述两种观点，认为矛盾无法调解，此处不能运用图1所示的方法进行简便运算（视为观点3）。

那么，这些观点究竟是否正确？学生为何会产生这样的分歧？我们应如何进行有针对性的教学？对于这些问题，本文将继续沿用参考文献[1]和[2]中的框架，分别从数学分析、认知分析、教学分析三个层面对此教学案例进行探讨。

一 数学分析

从数学的角度说，除法竖式背后隐含的原理为整数的带余除法。整数带余除法定理的表述如下：对于整数 a、b，这里a≥b,b≠0，存在唯一的整数对（q,r），使得 a=bq+r，其中 0≤r＜｜b｜。

当r=0 时，即在整除的情况下，a=bq。令被除数和除数都乘相同的数 m（m≠0），得 am=（bm）q，商仍为 q；令被除数和除数都除以相同的数m （m≠0），得商不变。以上即为课本上“整除时商的变化规律”：被除数和除数都乘或除以一个相同的数（0 除外），商不变。这是图1所示的简便运算的数学原理。

对于图3，在“1”后面添加数字“0”得到新数 10，由于 10大于除数9，根据整数带余除法定理，运算仍须继续，最终得到的余数为1。这种添加方式是不恰当的。

对于图2所示的方法，学生在使用了“简便运算”方法后，认为 820÷90 的余数是 1，这是不正确的，但我们可以对计算的结果进行合理的解释，将计算结果乘10 即可得到最终的答案。

实际上，除法竖式在很大程度上是一个工具，关键在于对计算结果进行合理的解释。在分析学生的认知之前，我们先通过美国一个非常著名的除法问题进行说明，其表述如下[3]：

某小学师生共296 人乘车去春游，如果每辆车上能坐24人，他们共需要多少辆车？

此问题可用式子“296÷24=12……8”进行求解，其意义为：共有12 辆车坐满了，还余下8人，因此只需多配1 辆车，即答案为13。需要说明的是，师生实际乘车的情况更复杂，不一定是前面12 辆车坐满，最后1辆车只坐8 人，还可能是11 辆车坐满，另外2 辆车分别坐16人等多种情况。但无论何种情况，12 辆车上最多坐 24×12=288（人），小于人数 296，不满足条件；而13 辆车上最多坐24×13=312（人），肯定能满足需求。

可以看出，在解答这道含有余数的除法题时，不仅要求计算准确，还需对计算结果进行合理的解释。实际上，“296÷24=12……8” 这一计算结果还可用于求解以下两个数学问题。

问题1：某小学师生共296人乘车去春游，如果每辆车上能坐24 人，且除了最后一辆车其他车都必须坐满，问：有多少辆车坐满了？

问题2：某小学师生共296人乘车去春游，如果每辆车上能坐24 人，且除了最后一辆车其他车都必须坐满，问：最后一辆车上有多少人？

显然，问题1 的答案为12，问题2 的答案则是 8。由上述例子可以看出，对同一式子的计算结果进行不同的解释，可以求解不同的问题。因此，笔算仅仅是一个工具，计算的结果不一定是最终的结果，我们在解决问题时不能为其所束缚，而需要关注计算结果背后所隐含的意义，并对其进行合理的解释，最终得到正确答案。

二 认知分析

带着前面的数学分析，把除法竖式看成工具，我们从认知的角度回顾文章开始学生的三种观点，可以看出，学生有着共同的认知：既将笔算作为工具，又将其结果作为最终的结果。

1.观点1的认知分析。

观点1 认为图2所示的笔算是唯一正确的，即可以进行“简便运算（被除数与除数同时除以10）”，且原式的最终余数是1。这部分学生以“同时除以10 进行竖式除法的简便运算”作为工具，并通过正确的计算得到余数“1”。由于学生认为计算的结果即为最终的答案，所以学生未过多思考便将其作为最终结果。

通过上述数学分析我们知道，运用这种“简便运算”得到的结果并非真正的解，学生在认为计算结果即为最终结果的情况下，出现图2所示的错误解答很可能是由于错误类比图1所示的方法造成的。我们知道，在学习除法竖式之前，学生已经学过整除时商的变化规律，若教师未能对此进行恰当的教学，学生很有可能产生以下错误类比：被除数和除数都乘或除以一个相同的数（0 除外），商不变，余数不变，由此认可图2中余数不为0 情况下的 “简便运算”方法。

其实，图2中运用图1所示的方法进行简便运算是可行的，但不能直接将计算的结果作为最终的答案，需对其进行合理的解释，最终才能得到正确答案。

2.观点2的认知分析。

观点2 认为图3所示的方法正确而图2所示的方法错误，其与观点1 有着很多相同的认知，认可余数不为0 情况下的“简便运算”方法，且在操作除法竖式的过程中没有计算错误；不同之处在于，他们很可能通过其他“非简便运算”（如图1左边的竖式运算等）的方式求得此题的余数应为10，由于他们认为笔算的结果应是最终答案，为了使其出现在计算的结果中，便在按图2所示方法所求余数的结果“1”后添加“0”，凑出正确的结果“10”。

3.观点3的认知分析。

认为两种笔算方法都错误的学生综合了前两者的观点：一方面，他们认可图2所示的计算过程，但知道正确的余数应是10； 另一方面，虽然图3所示的运算方式确实得到了正确的余数，但他们了解这种处理方式的不规范性。由于学生不能解释其中的矛盾，便认为此题不能使用图1右边的方法，即被除数与除数同时除以10 以进行竖式除法的简便运算。

要厘清学生的以上分歧，需认识到除法竖式本身不能违反整数带余除法定理，因此，不能在通过除法竖式计算出来的余数后面随意添加“0”。另外，教师要帮助学生了解，除法竖式仅仅是一种简单而有效的记录方式，是一种工具，所得到的计算结果不一定是最终的余数，因此，在解决问题时，应根据情境对计算结果进行恰当的解释。

三 教学分析

基于上述分析，我们认为，除法竖式简便运算的教学中至少要注意以下三点。其一，如之前所提及的，在运算方法的教学中，要注重对计算结果进行合理的解释，让学生理解算式及其结果的数学意义；其二，通过对“1”的解释或对图3的讨论，加深对除法竖式的数学原理的理解，避免学生后续出现添加“0”后继续进行除法运算的错误；其三，通过对标准算法和图2所示算法的比较，让学生理解数学对简洁的追求。

据此，我们设计了下面的除法竖式教学方案。

1.复习算法。

教师带领学生复习求解820÷90 的标准算法（不同时除以 10）。

标准算法是学生已经掌握的算法，在经过这一步骤后，学生对于计算结果商为9、余数为10 达成了一致。

此阶段是巩固对除法原理及其竖式表达方式的理解，包括对商和余数的理解，为接下来理解带余数的除法竖式简便运算提供知识基础，即为学生在后期进行类比探究与陈述观点作铺垫。

2.类比探究。

引导学生进行图1中780÷30 的计算，即进一步学习被除数和除数同时除以10 进行除法竖式的简便笔算，此时得到的商不变。然后，让学生自主探究如何运用类似的除法竖式求解 820÷90。

在这一环节，教师将课堂完全交给学生，学生可以自由发挥，按照自己的方式书写除法竖式。如果有学生给出图2所示的解法，教师可通过以下追问引导学生讨论：“在这里余数是1，刚才我们不是求得余数是10 吗？这里的计算方法正确吗？”如果学生未给出图3所示的解法，教师可以把图3所示的解法呈现给学生，并问学生：“既然前面我们已经知道余数是10，可不可以在这个竖式的余数‘1’后面添上‘0’呢？”从而引导学生比较、思考。

这一环节是为了以旧引新，并让学生在变化了的新情境中形成认知冲突，从而促进学生反思对余数的理解。

3.陈述观点。

对于前面的问题，围绕“为什么这么写？依据是什么”展开讨论，教师鼓励学生表达自己的观点，陈述自己探究的过程和理解。

这一环节是为了让学生充分展示自己的做法和思考，教师从中了解学生的思维过程和结果，以便接下来针对学生在对除法竖式原理或除法竖式表达方式的理解方面的问题进行分析、点评，让学生达成正确的理解。一般来说，在学生对问题进行分析并有了自己的想法后，教师的点评才能让学生更有收获。

4.教师点评。

对于图2所示的笔算方法，教师对其进行肯定：“实际上，在除以10 后，这个除法竖式较为简洁。但由前面的学习我们知道，此时的余数1 代表的是 10，而不是 1，因为 1 所在的位置是十位，而不是个位。因此，同学们在进行除法竖式运算时，要仔细分析计算的结果，进行正确的解释。”最后，通过与标准算法的比较，帮助学生理解数学对简便的追求。

对于图3所示的笔算方法，教师要表扬其合理性：“这里添一个‘0’，余数是 10，这表示学生认识到了这个‘1’代表的是 10。但是，如果直接在‘1’后面添一个‘0’，会导致还需要继续进行计算。因此，为了不引发这样的问题，我们不能在‘1’后面直接添‘0’，即在格式上需要使用图2所示的方式。”

对于其他笔算方法，教师亦可以从除法竖式的带余除法原理上进行解释，并对这些除法竖式格式的正确性、规范性、简洁性进行恰当的点评。

在这一环节中，除了前面提到的分析、点评，对于部分学生不能理解为何带余除法不能完全类比整除进行简便计算，教师可以列出如下算式，帮助学生理解：

820=90×9+10，

820÷10=（90÷10）×9+（10÷10），

82=9×9+1。

因为 820=90×9+10，所以820÷90=9……10。

因为 82=9×9+1，所以 82÷9=9……1。

这一环节的教学是为了在学生进行深入思考后仍有困惑时，教师发挥主导作用，为学生解疑，让学生从数学上理解算法及其操作、表达方式，同时向学生渗透对计算结果进行数学解释的思想。

四 结语

以上教学案例分析表明，在数学教学中，面对除法竖式这类算法教学内容，应当引导学生在不同情境中对数学结果进行合理的解释。通过对数学结果进行解释，一方面，促进学生对算法的原理及其操作方式的理解，澄清一些可能的误解，使得学生不仅知其然，且知其所以然，并进行正确、规范的算法操作，理解数学算法操作的合理性和美学意义；另一方面，使学生感受到学校中所学的数学不只是数字游戏，还是有现实意义的，进而加深其对数学的认识，提高学习数学的积极性。

除法竖式仅仅是小学数学教学内容的一部分。本文的最终目的是，希望通过数学分析、认知分析和教学分析这种研究框架，为广大一线教师提供一种研究视角——先对教学中所遇到的问题进行数学上的分析，再结合学生的认知情况，进行教学反思与改进。希望这样的分析框架能帮助一线教师成为探究型教师，以研促教，最终改进课堂教学。