不等式sin θ＜θ＜tan θ的证明与应用

卓杰　余新国

此不等式的证明正是借助于“形”，从“形”的角度建立不等关系，体现了“数形结合”的重要数学思想，也凸显了“数形结合”解决数学问题的优越性和简洁性.

特别强调：此不等式仅对θ∈（0，π/2时成立.

3.不等式sin θ<θ

分析 方程sin x=x解的个数问题可转化为两图象交点的个数问题.因此只要能准确画出 y=sinx与y=x的图象即可看出.若不仔细研究将画出错误的图象.

解 由不等式sinθ<θ

当x>0，则x> sinx;

当x=0，则x= sinx;

当x<0，则x

如图2，方程slnx=x仅有1个解，

评注 若不借助于不等式sinθ<θ

思考 你能类比例1借助上述不等式判断方程tanx=x，x∈（0，π/2解的个数吗？请作图说明.

例2已知a，b∈（0，π/2），且a=cosa，b=sin cosb，试比较a，b的大小关系并说明理由.

分析 本题直接比较大小非常困难，观察式子可以发现，两式是不同名三角式，可以联想到通过不等式sinθ<θ

解 因为b∈（0，π/2），所以cos b∈（O，1），

则b=sin cos b

所以a-b=cosa-sin cosb>cosacosb.

因为a，b∈（0，π/2），

若a≤6，则有cosa- cos b≥O，

所以a-b> cosa -cos b≥0，矛盾.

所以a>b.得证.

评注 此不等式可以实现将三角式化为一次式，化难为易，进而解决问题.

思考 若例2中有c= cos sinc，你能比較a，c的大小关系吗？

在高等数学及科学技术领域常用到不等式sin θ<θ