数学理解的关键：明晰“为什么”

陆贤彬

在高中数学学习中，“数学理解”无疑是最重要的，它对我们数学能力的发展和数学成绩的提高起着基础性的决定作用.缺少理解的数学学习往往事倍功半，甚至举步维艰.我们这里所说的“数学理解”主要有三层含义：其一是理解数学知识，如数学概念、原理、定理及其适用范围和条件等，用数学的眼光去观察生活和世界，这是知识层面上的;其二是理解数学方法，如抽象数学概念的方法、发现或推导数学定理的方法、数学问题解决的推理方法等，用数学的思维去思考生活和世界，这是方法层面上的;其三是理解数学思想，建立良好的数学观念，理解数学知识体系的结构和发展状况，用数学的语言来表达生活和世界，这是思想层面的.这三层含义不是独立的，它们相辅相成，有机地组成“数学理解”的价值和意蕴.对于大多数高中生，知识层面的理解训练较多，而方法层面的理解相对来说尚显不足，本文就从方法层面，以《解三角形》和《数列》内容为例，探索其中的“为什么”，

一、正弦、余弦定理推导方法的剖析

1.向量方法的剖析

教材上是运用向量方法来证明的，将正弦定理和余弦定理作为“向量运用”的具体案例，这样处理无疑让我们理解起来简单多了.而且通过探索正弦、余弦定理的证明，我们能够进一步熟悉向量语言表达几何问题，向量方法处理几何问题.这种方法的本质在于两个转化：首先，将“几何图形△ABC”转化为向量等式“AB+ BC+CA=0”;然后，应用向量的数量积，将向量等式进行“数量化”，即通过“数乘一个垂直于一边的向量”可得到正弦定理，通过“移项平方”可得到余弦定理，量积，可以得到边角之间的关系式;③直角三角形中两锐角互余，一角的余弦等于另一角的正弦.在此基础上理解起来就简单了：在向量等式AB+BC+CA=0的两边同时点乘一个与向量BC垂直的向量，即可得到正弦定理.

2.初中几何方法的剖析

（l）构造直角三角形探索正弦定理.

对于锐角△ABC，作AH⊥BC于点H（如图1），在直角△ABH、直角三角形ACH中，注意到高AH是两个直角三角形的公共边，采用“算两次”的方法，得AH=csin B=bsin C，将边和所对的角看成同一类，“物以

类聚”，得c/sinC=b/sin B'

二、善用“归纳推理”解决数列问题

很多同学认为数列题难.解数列题的方法很多，而且有些方法不易发现，甚至老师讲后仍难以理解.其实，数列本身就是“数站队”，是一个个“站”出来的，我们可以通过“列举”的方法进行归纳推理，常常能发现问题解决的简单方法.

如求数列a_n=（8n-25）（8n-33）（8n-44）（1≤n≤7）的最大項.

分析：由于项数少，可以一一列举来比较.此方法虽然思路简单，但计算比较麻烦.由于通项公式具有积的形式，我们可以研究项的正负性，由a_n>O得n=4，6，7.而a6

在解决问题的过程中，适当地运用列举的方法可以简化解题过程.

分析2 由于等差、等比数列是我们熟悉的基本数列，所以解决有关数列问题时的一个重要思路是：转化成等差或等比数列.为此，我们可以将式子变形。