数学“问题提出”教学的理论基础和实践研究

蔡金法姚一玲

数学“问题提出”教学的理论基础和实践研究

蔡金法1，2，姚一玲3

（1．西南大学 数学与统计学院，重庆 400715；2．特拉华大学数学系，纽瓦克 19716；3．杭州师范大学 教育学院，浙江 杭州 311121）

基于一系列实证研究，系统论述了数学问题提出教学的理论基础：建构主义学习理论、社会文化学习理论及学习机会理论．问题提出的实践研究包括：用问题提出评估教师与学生的思维，教师学习用问题提出进行教学，课程为问题提出教学提供资源．在提供实证研究案例的同时，也提出了问题提出教学未来的研究方向：尽管数学问题提出教学活动的理念对学生发展的潜力不容置疑，但更重要的是如何帮助教师将问题提出应用于实际课堂教学中．

建构主义；社会文化理论；学习机会；教学实践

提出一个问题往往比解决一个问题更重要，因为解决问题也许仅是一个数学上或实验上的技能而已，而提出新的问题、新的可能性、从新的角度去看旧的问题，却需有创造性的想象力，而且标志着科学的真正进步．

——爱因斯坦

在数学的领域中，提出问题的艺术比解答问题的艺术更为重要．

——康托尔

问题提出是科学研究中至关重要的一个环节．历史上，无论是数学研究还是科学研究，因为提出重要的问题而使学科有重大发展的例子比比皆是．例如，著名数学家Jacques Hadamard在反思自己的数学发现之后，总结到“确定并提出一个好问题是高质量数学研究的重要组成部份”[1]．希尔伯特（Hilbert）提出的23个数学问题对数学研究发展的重要性也是一个不争的事实[2]．十几年前《科学》杂志在庆祝办刊125周年之际，提出了最有影响力的125个研究问题，而且这些问题至今还对科学研究起着重要的作用[3]．

如果教育的目的是培养学生未来生活学习所需要的思考和创造能力，那么有理由相信，问题提出会成为学校课程的一个重要组成部分．因此，数学教育也应让学生经历数学探究的过程，给他们提供探究、猜想和提出问题的机会．2015年，Cai等人曾对当时的数学问题提出研究作了全面的综述，从十个方面论述了数学问题提出研究中已经回答和没有回答的问题，包括[4]：（1）问题提出为什么对学校数学教育很重要？（2）教师和学生是否有能力提出重要的数学问题？（3）能否有效地训练教师和学生以提出高质量的问题？（4）对于问题提出的认知过程，我们有哪些了解？（5）问题提出能力和问题解决能力有什么关系？（6）是否可以利用问题提出来测量创造力和数学学习结果？（7）问题提出活动怎样才能融入数学课程中？（8）学生能够参与到问题提出活动的课堂是怎样的？（9）技术如何被应用于问题提出活动？（10）怎样才能知道学生参与问题提出活动对其学习结果的影响作用？

1 什么是问题提出

问题提出方面的研究已经发展到了一定的程度，有必要对什么是问题提出作一梳理，以便于读者在阅读时，能清楚明白作者们所用的问题提出的内涵，理解他们的研究结果，同时促进这一研究领域的发展．

问题提出不是一个新的概念，波利亚在1945年所著的《怎样解题》（）一书中提出的4个问题解决步骤中，就已经提到了问题提出．特别是在第四步的回顾（looking back）中就强调了问题提出，比如说“有没有可以解决的类似的问题（Do you know a related problem？）”[5]．在心理学研究中，问题提出早已经作为个体创造力的指标之一来考察[6-7]．特别要提到，林崇德在20世纪80年代初，用问题提出测量学生的思维品质，并利用自编应用题来培养小学生的创造力[8]．

从教学层面来说，在1980年的NCTM（National Council of Teachers of Mathematics）年鉴中，Butts提到，把同一个问题用不一样的情境和引导语来表述，其教学效果就会不一样[9]．例如：

问题1：()表示整数的正因子．证明，当且仅当为平方数时，()为奇数．

问题2：哪一个正整数有一个奇数因子（证明你的猜想）．

问题3：想象有个全部关闭的锁和个人．假设第一个人独自打开每一个锁；然后第二个人从第二号锁开始每两个锁关闭一个锁；第三个人从第三号锁开始每3个锁改变一个锁的开合状态（也就是，如果原来是锁住的，那么这个人将其打开，如果原来是打开的则将其关闭）．如果这个过程持续下去一直到所有个人都完成一遍，那么哪些锁是打开的？

以上3个问题实际上都是同一个问题，只是用了不同的表达方式．第一个问题是个非常直接的数学证明问题；第二个很简洁，只是给定了一个需要猜想的问题，而非一个需要证明的陈述句；第三个则以一种非常独特的方式提出了一个数学问题．Butts认为第三种问题呈现形式可能更容易激发学习者潜在的主动解决问题的愿望．特别是1990年，Brown和Walter在《问题提出的艺术》（）一书中就提到，如何在课堂中设计情境让学生提出问题，如何通过提出问题来学习数学等．他们还用到了“如果不是这样”（what if not）这种具体策略来鼓励学生提出问题[10]．无论是Butts的工作还是Brown和Walter的研究都是对波利亚研究的延伸，即如何把问题从不同角度呈现出来，以增加学生探索和学习的机会．

然而，在以上的研究中，教育者和研究者还没有把问题提出作为研究对象，直到1989年，在美国数学课程标准中明确提出，要提供给学生机会提出数学问题[11]．美国数学课程标准还提到，数学教育界应该将问题提出的活动作为一个主体来研究；在课堂上要提供给学生提出问题的机会，通过提出问题学习数学．同时，把问题提出既作为一个教学目标（促进学生问题提出能力的发展），又作为一种教学手段或方法（通过问题提出来教数学）．这些观点对数学问题提出的研究和教学是一个里程碑式的发展．之后，人们便开始把问题提出的活动作为直接研究的对象．Kilpatrick强调，发现和创造自己的数学问题应该是每一个学生所接受的教育的一部分，也应该是学校数学课程的重要内容[12]．而且，在Silver把问题提出作为一个对象来研究之后，就提出了两种问题提出的含义：一种是根据情境来提出问题，另一种是改编现有问题来提出新问题[13]．

经过系统梳理问题提出的内涵，研究者提出应从学生和教师的角度来看它的含义，即“对于数学教育中的问题提出，研究者认为应该是有特定的活动来支持教师和学生，使得他们能够基于特定的情境（即问题背景或情境）形成或再形成一个数学问题或任务”[14]．这一定义框架中对“问题”或“任务”进行了更为广泛的分析，其中包括可以提出的任何数学问题，以及可以根据问题情境提出的任何数学任务．研究者也从较为广泛的角度分析了“情境”一词，其中包括可以提出新问题的数学内部的情境，包括数学表达式或图表，以及来自于外部事物的情境，如真实的生活环境和来自于其它学科的问题情境．也分别从学生和教师角度界定了问题提出的概念．

于学生而言，问题提出主要包括两方面的心智活动：①学生基于给定的问题情境提出数学问题，这些情境可能包括数学表达式或图表；②学生通过改变（或改编）已有问题来提出新的数学问题．

于教师而言，问题提出主要包括5方面的心智活动：①教师自身基于给定的情境提出数学问题；②教师自身基于给定的情境，通过改变（或改编）已知提出数学问题；③教师创设情境让学生提出数学问题；④教师预测学生可能会提出的数学问题；⑤课堂上提出数学问题让学生求解．值得指出的是，除了把问题提出作为教学目标和教学方法之外，问题提出还可作为测试或评价工具来考查学生或教师的数学思维．

2 问题提出教学的理论基础

在理清了什么是问题提出之后，接下来对问题提出教学的理论基础进行讨论．根据前文所述，可以把问题提出看成是一种教学手段，也就是通过问题提出来教数学和学数学．不同学者从不同的角度提到过问题提出教学的理论基础，例如，有研究者发现，问题提出可以从不同的角度测试学生的思维；也有学者认为，问题提出任务往往是更为开放和挑战性的数学教学任务[4]．作为一种教学手段，问题提出在课堂上能够提供给学生更多的学习机会和挑战，从而有利于学生的学习．

下面将从两种学习理论（学习的个体性和社会性）及两种学生群体（“好生”和“差生”）所获得的学习机会角度，讨论问题提出教学的理论基础．

2.1 学习的个体性和社会性

在数学教育领域，关于学生的学习有两大理论：一种是建构主义，持该理论的学者认为，学生的数学学习是个体自我积极的建构过程，所以他们更强调学生在数学教学情境中的自我建构和个体性；第二种则强调数学活动过程中的社会性和文化情境，认为学习是一种社会文化活动，学生的数学学习更多的是受外部环境和文化的影响．Cobb强调，这两种看似相互矛盾的学习理论在数学课堂上是一个完美的互补[15]．蔡金法也系统地论述了这两种学习理论在基于数学问题解决教学中的作用，基于理论和实证数据说明了基于问题解决教学对学生数学学习有促进作用的原因[16]．而这一论述同样适用于理解和阐释基于问题提出的教学对学生学习产生有利影响的原因．

Anderson在综合了不同认知理论学家对学习的本质定义后，提出“认知心理学中的一个基本假设是，新的知识是需要学习者自我建构的，然而学习者不是简单地将新知存储在大脑中即可，而必须将新知与自己的旧知建立关系，这个建立关系的过程就是学习的本质．从这个意义上说，数学知识——无论是程序性知识还是概念性知识——都是学习者自己创造的”[17]．学生在问题提出过程中，需要理清情境或已知对象之间的关系，并创造性地将不同对象或量以自己理解的方式提出各自新的问题，这些问题很可能在认知需要或形式上都对问题提出者来说是独特的．而且，问题提出是一种开放式的学习过程，学习者可以综合自己的已有知识，从中提取与新情境相关的内容，从而提出问题．这个过程能让学习者主动地将自己的旧知与新知很顺利地建立联系，也有助于不同学习者基于自己的水平和背景提出问题，从而建构知识．

维果茨基从社会和文化的角度谈论了学习和学习过程．他在大量的实证研究结果的基础上提出，学生在不同教学情境的学习结果也会不同，由此提出学习的社会文化建构理论[18-20]．根据该理论，学习者建构知识的过程离不开他们所处的社会和文化情境，情境的不同会导致不同的学习过程和结果．学习是在课堂中进行的，课堂就是一个社会单位，因此，学习就是在社会单位中进行的．特别地，问题提出的课堂活动会涉及到社会数学规范的课堂教学．在这个社会单位中，教师利用问题提出的教学手段，让学生自己建构过程，汇报自己提出的问题，通过不同学生介绍不同的问题，并在师生和生生的交流、辩论和批判中实现课堂的“社会”建构过程．从而在课堂这个社会环境中，学生不仅能提出自己独特的问题，还能了解不同学生提出的独特问题，并知道什么样的问题是“社会”认同的，什么样的问题是好问题．

问题的提出不仅是为了帮助学生注意到知识内容的某些特征，而且要注意到信息处理的特殊方式．因此，当有学生汇报自己提出的数学问题时，其他学生就可以思考该学生是怎样想的，其对数学概念的理解又是怎样的，从中发现与自己想法不同或有漏洞的地方．最后，借助学生所提问题，教师可以进行适当组织、引导和选择，让学生在讨论、交流、辨析的过程中完善并解决同伴所提的问题，达到学习的目的．

2.2 创造更多学习机会

作为一种教学手段，问题提出教学要比问题解决教学给学生提供的学习机会更多．Contreras认为，问题提出作为一种教学手段能够满足有不同需求的学生[21]．已有研究表明，学生在解决问题时，程度好的学生解决完问题后他们的学习便停止了，而程度差的学生因为无法解决问题，也许就没有办法参与其中，学习机会也会更少．久而久之，差学生的课堂参与度、注意力，甚至数学情感都会变得消极[16]．但在以问题提出为手段的教学过程中，尽管程度不同的学生所提的问题在结构、难度，以及综合程度上都会有所不同，但他们几乎都能参与到问题提出的数学活动中．在问题提出过程中，学生既能发挥自己作为单独个体的作用，让教师可以看到学生更多独特的、对其有意义的数学问题．同时，由于问题提出的过程和形式是开放的，所以对于程度较差的学生来说也能积极参与其中，而对程度好的学生来说，问题提出可以挖掘他们更大的学习潜力．

因此，利用问题提出进行教学的模式是非常可取的，问题提出这一活动既能照顾所谓的“差生”，又能让比较好的学生有比较大的发展空间．以问题解决教学为例，当题目给定后，有些学生解不出来，也有学生能解出来．解不出来的学生学到的东西当然会少，这就是所谓的“差生”，而解出来的学生也就只能学到解决问题这么多知识．然而，数学问题提出这一活动却不同，因为它可以让“差生”有足够大的发展空间，他们可以根据自己的经验和理解提出非常有意思的问题．而对于“好生”，除了有足够的发挥余地，由于情境是开放的，提出问题也同样会给他们提供更多的发展空间．因此，问题提出是一种能同时发挥出“差生”和“好生”更多潜能的教学活动．因为创设情境以提出数学问题这一方式，对发展学生的创造力和潜力是大有裨益的[22]．

从实证研究角度来看，目前已有足够的证据表明，在学生数学学习过程中，提供提出问题的机会，有助于挖掘和发展学生的潜力[4]．例如，Ellerton提出了一个在数学课堂中的问题提出的积极学习框架（active learning framework），并划分了一个学生从被动参与到积极参与的一个范围，认为没有问题提出和问题解决的数学课堂会缩短学生的数学经历，尤其是会剥夺让学生反思、批判和质疑的机会[23]．这一框架将课堂中的问题提出视为一种让学生能巩固自己所学知识，并对其进行批判性思维的重要活动．

3 问题提出的教学实践

3.1 用问题提出评估教师与学生的思维

到目前为止，利用问题提出评估学生和教师思维的研究已经较为成熟．例如，作为长期跟踪研究的一部分，蔡金法等人考查了用问题提出测试不同课程对学生数学学习和思维发展的影响[24]．此外，Tichá和Hošpesová用问题提出作为诊断工具，考查了职前数学教师的数学理解[25]．特别地，他们的研究强调，问题提出可以提供给教师和学生了解自己在概念理解上的错误或误解的机会．

李欣莲等人和姚一玲等人都从不同角度考查了在职小学数学教师在问题提出过程中对数学知识的理解及相应的数学思维的情况[26-27]．具体来说，李欣莲等人从教师在两类问题提出上的表现及工作坊对其问题提出能力影响的角度对小学教师进行调查，发现在现有问题提出课程资源缺乏的情形下，中国大多数小学教师能够提出恰当的数学问题，但问题的质量还有待提高；教师对问题提出工作坊态度越积极，进步就会越大．姚一玲等人则利用问题提出及分数除法的测试题考查了教师对数学概念的程序性理解和概念性理解情况及其与数学问题提出的关系．

虽然，用问题提出测试来评估教师和学生的数学思维甚至创造性相对较为成熟，但是，这一领域的工作还有很多值得研究的方面（详见文[4]）．例如，目前已有的评估试题非常有限，如何基于问题提出系统地开发可用于测试和评估学生及教师数学思维及创造性的测试题，是目前面临的一大课题[28]．比如，张玲等人关于数学问题提出中的交流展开了一些研究，这一领域未来会有很好的发展前景[29]．大家已经知道很多有关数学问题解决中的数学交流，但对问题提出中的数学交流却知之甚少．张玲等人建构了问题提出中的数学交流模式，从输入、过程和输出3个阶段揭示了问题提出过程中数学交流的发生过程及形式．尽管他们只是提出了一个构架，但已有部分实证结果表明，这一构架是非常可行的．因此，未来的研究重点就在于对测试题的开发．这些方面的工作不仅有助于评估学生或教师的数学思维和创造性，而且还有助于了解问题提出的认知和情感过程．

3.2 教师学习用数学问题提出进行教学

教师作为教育领域的专业人士，要接受新思想、新观念，要不断学习如何给学生提供更多的学习机会．由于对大部分教师而言，运用问题提出方法开展教学是一种新的教学方式[4，14]，因此，作为数学教育研究者，需要给教师提供相应的教学支持．

文[30-31]是“数学问题提出对教师专业发展和学生创新能力提升的长期跟踪研究”课题的研究成果，此课题是根据“主题式”专业发展模式进行设计的（如图1）．该模式的基本假设是：教师课堂教学行为的改变促进学生的数学学习，而教师知识的增长和信念的改变促使教师的教学行为改进．教师学习的目的是可以促进其信念的改变和知识的增长．这一模式既有来自学习的情境认知[32]和改进科学理论（improvement science）的有力支持[33-34]，也有丰富的实证数据来证实对教师专业发展的有效性[35]．帮助教师学习用问题提出进行教学，是在这些理论和实证数据的基础上发展而来的．宋乃庆等人在研究中也详细论述了问题提出教学对教师教学和专业发展可能具有的机遇与挑战[36]．虽然，蔡金法等人在其研究中详细说明了，关于教师在问题提出教学过程中，其专业得以发展的更多有效和完整性的证据，但这些方面的证据还远远不够[14]．

图1 教师专业发展的一般路径

可以发现，有的研究是针对较大样本的教师进行调查，有的研究是针对个别教师进行调查．同时也揭示了，教师使用问题提出开展教学遇到的挑战，以及如何克服这些挑战的方法，为教师基于问题提出教学的专业发展提供了可参考的有效路径和方法．

蔡金法等人的研究不仅提供了“主题式”数学问题提出教学专业发展研究的初步框架和初步有效性证据，还表明了混合型方法研究设计的重要性及结果的可行性．但是，“主题式”数学问题提出教学的总体模式仍需要不断完善，而且这一模式所涉及的具体内容也需要更深入的研究．基于此，张辉蓉等人提出了一个非常全面且具体的教师问题提出教学知识的构架，为教师专业发展模式提供了一个独特的视角[37]．关于数学教师的数学知识是一个热点研究课题，但是，对数学教师的教学知识研究面临着很多挑战（尽管有关教师需要有数学教学知识的理念已经普遍接受），但最大的挑战是如何精确地测试教师的这些教学知识，并进行有效的干预，以促进他们的专业发展及教师知识的增长[38-39]．张辉蓉等人基于特定内容而提出的构架（简易方程及问题提出）有很大潜力突破已有关于教师教学知识研究的瓶颈．更值得期待的是，他们正在开发有关教师数学问题提出教学知识的测试工具．

3.3 课程为问题提出教学提供资源

尽管有很多研究表明，家长等因素对学生的学习起到重要的作用[40]，但是学校的正规教育毕竟是促进学生学习的主要因素[16]．因此，在课堂上如何用问题提出开展课堂教学是关键．目前各国的研究者都在努力探讨用问题提出进行的课堂教学究竟是怎样的[41]．陈婷等人对比分析了两节关于“简易方程”的课，该课由徐红老师采用问题提出和问题解决两种方式对同一内容进行教学[42]．他们发现，利用问题提出进行教学的优点在于，它比问题解决教学更有教育潜力，而且由于提出数学问题具有开放性，学生在提问过程中能将现实生活经验与数学知识建立联系，更好地激发学生的思维，并能够促进学生更多地参与到教学活动中．此外，许天来和蔡金法也在其“实施课程”和“获得课程”中描述了一些美国的问题提出课堂教学案例，并提出了3种促进教师运用问题提出开展教学的具体方法：①教师通过改编现有课程材料为学生创造提出问题的机会；②增加课标中问题提出的范例；③列出学生可能会提出的数学问题，让学生提出不同难度的数学问题[43]．

虽然目前已有一些问题提出课堂教学的案例，但总的来看，利用问题提出进行教学的优秀案例还很少．这也要求课程能够为问题提出教学提供资源．

面对社会对教育系统提出的变化需求，课程历来被视为教学改革的动力．因此，数学课程资源应该首先成为问题提出教学活动实践的代表[44]，成为教师可以参考的教学资源，甚至应该成为教学改革的重要动力[45-46]．如何提供课程资源的支持，教师对教学任务的实施，以及自身的专业发展都是需要进一步研究的内容．许天来和蔡金法从计划课程、期望课程、实施课程及获得课程4个角度，分析了美国数学课程中的问题提出[43]．他们发现，虽然美国数学课程标准中非常强调问题提出的重要性和优势，而且也得到美国数学教育界的广泛认可，但在数学教材和一线课堂教学实践中仍然非常缺乏问题提出的相关活动．例如，许天来和蔡金法发现，美国数学教材中数学问题提出活动所占比例极低，类型较为单一，且问题提出题目的分布也不均衡．因此，建议在教材中应开发不同问题提出的任务．在Christou等人的研究中，他们将问题提出任务分为5类[47]：①一般性的问题（自由的情境）；②得到给定答案的问题；③包含某些信息的问题；④符合某个问题情境的问题；⑤满足给定运算式的问题．此外，不同的问题提出任务可能以多种方式向学生提供给定的信息，如使用视觉或符号表征，这些方式可能会（当然也可能不会）受到给定教材的其它设计和教学选择的影响．因此，任务的不同类型反映了问题提出任务设计的不同质量和优先级别，如任务对学生的约束程度，亦或是任务在与问题解决的关联方面发挥的作用．因此，不同类型的问题提出任务可以为教材开发提供依据[44]．

总体而言，无论是中国还是美国，教材中问题提出任务所涉及的年级、内容以及类型都需要更多的考量和设计．Cai等人在研究人教版小学数学教材中的问题提出任务时，特别关注了3类任务：包含一个样题的任务、要求学生基于给定运算提出问题的任务、要求学生基于数据图表提出问题的任务[48]．而且这3类任务在人教社几个版本的教材中的分布有显著差异．但这样的改变是否反映了课程试图想要更有效地利用问题提出？因此，未来研究需要了解如何给课程加入问题提出要求或内容会更有效．虽然课程标准中强调教材应该包含问题提出的内容，但目前关注数学教材中问题提出的研究仍然非常缺乏．

4 展望

千里之行始于足下．无论是国际还是国内，不乏教育改革理念，而且很多理念都为大众所接受，所缺的是具体的实践来实现这些理念[48-49]．数学问题提出教学的理念也类似．或许研究者不需要花太多篇幅来说明数学问题提出活动对学生学习的重要性及发展学生思维和创造性的潜力．但重要的是落实到具体行动上．

注：“问题提出”是根据“problem posing”翻译而成的．根据研究者的理解，“问题提出”与中国课标中的“提出问题”意义一致．几年前在云南的一次会议上，蔡金法先生和史宁中先生曾有深入的交流，史先生肯定了课标中的“提出问题”与美国课标中的“问题提出（problem posing）”是同一含义．

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Teaching through Mathematical Problem Posing: Theoretical Bases and Practical Strategies

CAI Jin-fa1,2, YAO Yi-ling3

(1. School of Mathematics and Statistics, Southwest University, Chongqing 400715, China;2. Department of Mathematical Science, University of Delaware, Newark DE 19716, USA;3. College of Education, Hangzhou Normal University, Zhejiang Hangzhou 311121, China)

This paper started with a description of problem posing and teaching mathematics through problem posing. Based on the constructivist perspective and social-cultural perspective of learning as well as opportunity to learn, this paper provided strong theoretical bases for teaching mathematics through problem posing. The paper ended with a thorough discussion of practical strategies for teaching mathematics through problem posing.

constructivism; social-culture; learning opportunity; teaching practice

2019–05–03

西南大学引进人才（教育部“长江学者”讲座教授）计划项目——数学问题提出对教师专业发展和学生创新能力提升的长期跟踪研究（SWU118118）；北京师范大学中国基础教育质量监测协同创新中心研究生自主课题资助

蔡金法（1963—），男，浙江杭州人，美国特拉华大学数学系教授，主要从事数学课程、评估和课堂交流研究．

G420

A

1004–9894（2019）04–0042–06

蔡金法，姚一玲．数学“问题提出”教学的理论基础和实践研究[J]．数学教育学报，2019，28（4）：42-47．

[责任编校：陈汉君、周学智]