用“问题提出”诊断和评估数学教师的概念性理解

姚一玲徐冉冉蔡金法

用“问题提出”诊断和评估数学教师的概念性理解

姚一玲1，徐冉冉2，蔡金法2，3

（1．杭州师范大学 教育学院，浙江 杭州 311121；2．西南大学 数学与统计学院，重庆 400715；3．特拉华大学 数学系，纽瓦克 19716）

对数学知识的程序性理解和概念性理解一直以来都是数学教育领域的重要研究内容，然而直至今时关于这两类理解的关系研究仍然没有明确的结论，尤其是从具体可操作的方法入手诊断和评估学习者的数学理解情况．研究采用对学生代数发展非常重要的分数除法内容作为工具，从分数除法的计算、作图表示分数除法的解答过程、以及对给定分数除法算式提出数学问题等3个角度，了解教师对分数除法的概念性理解情况．研究发现，分数除法问题是了解教师数学理解情况很好的知识内容；教师对分数除法意义的概念性理解较为缺乏；以及“问题提出”是一种诊断和评估教师数学理解的有效手段．

问题提出；概念性理解；数学教师；诊断与评估

近年来，世界各国在各个教育层次的研究或课程标准中都非常重视将问题提出融入到学校数学教学[1-3]，然而，关于问题提出的研究却依然较为缺乏[4-5]．而且，一直以来问题解决都是被用于评价学生数学学业水平的主要工具，而问题提出作为一种非常重要的数学能力甚少有人用来了解学生的数学理解情况．Cai和Hwang指出，问题提出是了解学生数学思维和理解的一扇窗户[6]．已有研究指出，问题提出既可以作为一种教学目标，也可以成为一种教学手段[7]．作为一种教学手段，问题提出既能促进学生的数学学习，还可被用于了解学生学习过程中的数学理解．因此，研究者将采用一道分数除法问题考察教师在问题提出中表现出的数学理解，以期从教育评价层面了解问题提出对诊断和评估学习者数学理解的作用．

1 理论基础

1.1 概念性理解和程序性理解

由于近些年大部分数学教育领域的研究都只关注学生的数学成绩，因此，各类教育改革运动逐渐开始强调数学理解的重要性．例如NCTM提出，学生必须通过理解的方式学习数学，才有助于他们在不同情境中灵活运用知识[8]．因此，NCTM强调教师必须要知道并能够深入理解他们所教的数学．

在数学教育领域，对知识的理解一般包括概念性理解和程序性理解，也称为概念性知识和程序性知识[9]．概念性知识指的是，一个领域的概念及其相互关系的知识[10]，NRC（The National Research Council）将数学的概念性理解定义为对数学概念、运算及其相互关系的理解[11]．已有实证研究通过考察概念性知识或概念性理解的变化发现：新手的概念性知识或理解通常是碎片化的，需要对所学内容进行进一步的整合才能达到真正的理解；专家的概念性知识或理解会持续不断的扩展并能够被很好地组织起来[12]．程序性知识指的是，执行连续性的操作以用于解决问题的能力[10]．它需要一系列的步骤或执行过程才能最终达成解决问题的目的．程序性知识或理解包括：（1）算法——使用一系列既定步骤最终得到正确答案的过程；（2）解决给定问题所使用的恰当的和系列的行为步骤（如解方程的步骤）．Wu认为程序性理解只是让学生应用规则，而并没有提供给学生理解规则背后的概念性意义的机会[13]．

关于这两类知识的研究主要分为4种．第一种是概念先行理论，这一理论假设儿童最初获得的是概念性知识[14]．第二种是程序先行理论，儿童最初掌握的是过程性知识[15]．第三种是概念性理解和程序性理解是相互独立发展的．当然，也有持第四种观点的研究者认为：这两类理解或知识也不完全能够分得开[16]．他们认为二者的因果关系是双向的，也就是说，如果个体的概念性理解或知识越好，就会产生更好的程序性理解或知识，反之亦然[17]．研究者们普遍更认同第四种观点，即概念性知识和程序性知识不能够完全分开，它们是相互作用的关系．同时，必须承认要用特殊的方法来描述学习者所达到的程序性和概念性理解，因为会程序性操作并不意味着有概念性的理解[8]．

总的来说，为了概念性理解的数学教学是数学教育的一个基本目标[8，18]，为了有效开展概念性理解教学，教师需要对数学概念有更为深入的理解[19-20]．

1.2 利用分数除法考察学习者对数学概念的理解

分数运算之所以如此难以理解或易于出错，主要是因为分数及其运算具有非常丰富的内涵．因此，分数运算及其与其它数的运算之间的关系也很复杂．要理解分数及其运算，首先需要对整数除法的算理有很好的理解[28]．分数除法的意义与整数除法意义相同，都包括两个方面，即等分除和包含除．等分除意指将被除数按照除数大小进行等分或平均分，能分得几份，商就为几；包含除意指被除数中含有多少个除数．相较于等分除中所得份数可能会小于1或不是整数，包含除则更易于学习者理解分数除法的意义．

分数运算能够让学生了解到算术运算会随着数字的变化而产生完全不同的结果．如自然数的除法运算结果一定小于被除数，而分数的除法运算却不一定．在分数除法的运算过程中，通常是先调换除数的分子和分母，再用被除数乘以调换后的除数．而这一过程却掩盖掉了分数除法的概念性内涵，也让教师和学生容易忽略掉程序性知识背后的概念性知识．因此，分数的运算不仅需要对算术计算算理的理解，尤其是不同数的乘除法运算，还需要更为深入的代数理解[23]．

然而，还有研究显示，8年级学生和大学生在比较分数的大小方面都存在一定问题[29]．这说明，学生并没有很好地理解整数除法的意义和分数作为一种数的含义．尽管数学教师和研究者对此有了很多的关注，但依然有很多学生不能很好地掌握分数的运算[30-31]．这与教师自身对分数运算的内涵理解存在偏差不无关系．也有研究表明，中国职前教师对分数除法意义的理解也较差[32]．而且，由于分数本身存在多种概念和含义，具有丰富的教学功能[33]，加之教师对分数及其运算的概念性理解非常有限[34-35，25]，所以研究者采用分数除法运算来考察教师对数学概念的理解．

1.3 问题提出与数学理解

在数学课堂上运用问题提出任务有助于揭示学生的数学思维，而教师越了解学生的知识水平和思维方式，越能够给学生提供更多学习机会，从而促进数学学习[36]．已有研究表明，教师的问题提出能力与其对数学概念的理解程度存在显著相关性，问题提出既可以作为了解学生和教师对数学概念的理解类型和程度的手段，也可以促进他们对数学概念的理解[37]．早在1932年，Brueckner和Elwell就提出，学校数学教学中可以采用让学生自己提出问题的方式培养学生建立数感，并促进学生对数概念的理解[38]．Hart也曾利用问题提出的方式考察学生对一些重要数学概念的理解，并发现问题提出打开了一扇了解学生思维的窗户[39]．Silver也认为，问题提出是学生数学理解的一个窗户，通过问题提出能够帮助教师了解学生数学理解的程度[40]．Cai等人发现，学生问题解决的能力与其问题提出能力之间存在显著相关关系，而且对问题提出有积极态度的学生也同时是一个很好的问题解决者[41]．

已有研究者利用学生和教师提出的问题来了解他们的数学理解．例如，Tichá和Hošpesová也同样用问题提出方式诊断并评价了职前小学数学教师对分数概念的理解，分析发现，职前小学数学教师对分数概念的理解存在一定的缺陷和混淆[38]．类似地，马立平比较了中美小学数学教师在分数除法算式所提的问题发现，教师提出有效问题的能力与其对分数除法意义的理解有显著关系[42]．而且，从认知要求角度来说，问题提出活动能够促进学生的概念理解，发展他们的推理及数学交流能力，并且有助于培养学生的兴趣和好奇心[43]．事实上，教师对数学的概念性理解及其对教学的理解对其问题提出有重要的影响作用．例如，一项针对小学职前数学教师基于日常生活情境提出问题的研究显示，教师的一些概念性理解及教学上的困难会阻碍其问题提出[44]．

虽然，关于在职教师的问题提出能力及问题提出对教师的信念和教学实践的影响都已有相应的研究[33]，但问题提出对诊断和评价教师对数学的概念性理解仍然非常缺乏．因此，问题提出可以作为一种了解教师数学理解的手段，同时也是帮助教师诊断和评价学生的概念性理解的一种手段．

此外，利用可视化图像或符号等表征数学理解或问题解决的过程，有利于学习者更直观的理解数学．有研究指出，图示表征对于学习者理解、概括和综合复杂想法都有重要作用[45]．学习者运用图示表征的水平就能够反映出其对数学的理解情况．因此，该研究还将采用画图的方式了解教师对分数除法意义的理解情况，以便于与问题提出中表现出的数学理解情况做交叉验证，从而说明问题提出对诊断和评估教师数学理解的作用．

2 研究方法

2.1 研究对象

研究者调查了某市共66位小学及初中数学教师，其中小学教师52名，初中教师14名．由于小学和初中教师在测试结果上类似，所以没有分开报告结果．调查同时还收集了教师的教龄和职称，具体样本信息如表1．

表1 研究对象背景信息

2.2 研究工具

研究者要求每位参与调查的教师都完成一份关于分数除法的测试卷，试卷共有3个问题．

问题1：请写出算式的答案．

问题2：用图表示你在解决下面算式时的解答过程．

问题3：提出两个不同的能用下面数学式解答的数学问题（注意：只需要提出数学问题，不用解答）．

2.3 数据编码与分析

同样地，针对教师所提数学问题，也将其分为3类（如表2）：（1）第一类为所提问题完全错误或未提出问题，如

图1 教师在画图题上的程序性理解举例

图2 教师在画图题上的概念性理解举例

表2 教师所提数学问题的分类与描述和解释

最后，确定编码方式后，所有66份测试卷由两位数学教育研究者分别进行编码，在画图题和问题提出两道题目上的编码一致性程度都达到96%以上．

3 研究结果

3.1 教师在计算题与画图题上的表现

教师在计算题上的正确率为100%，说明教师对分数除法运算的程序性理解非常好．然而，通过画图表现出对分数除法的程序性和概念性理解并没有计算题好，其中程序性理解的人数占总人数的54%，概念性理解的教师只占29%．并且，有17%的教师无法用画图的方式表达自己对分数除法意义或运算过程的理解（如表3）．也就是超过一半的教师对分数除法仅停留在程序性理解上，仅有不到三分之一的教师具有概念性的理解．

表3 教师在问题提出上的表现

3.2 教师在问题提出题目上的表现

表4为教师在问题提出上的表现．总体来看，完全没有提出问题或提出的是错误问题的数量占总问题数量的17%，而提出的概念性理解问题要显著多于程序性理解的问题数量．相较于画图所体现出的教师对分数除法意义理解的程度，通过问题提出的方式更能体现教师的概念性理解．通过比较可以发现，画图表现的对分数除法的概念性理解人数占总人数的29%，而所提问题表现出教师的概念性理解的问题比例占到71%．

表4 教师在问题提出上的表现

另外，以教师人数为单位，统计发现教师所提两个问题中全部是概念性理解的有35人，有一个是概念性理解的有23人，以及两个问题都不是概念性理解的有8人．而对比来看，两个问题都是概念性理解的34人中仅有11人在画图上的表现是概念性理解的，在仅有一个问题是概念性理解的21人中也只有7人在画图上的表现是概念性理解的，而在两个问题都不是概念性理解的9人中仅有1人在画图上的表现是概念性理解的．也就是说，问题提出能提供更多可能性或机会让教师表现出对数学的概念性理解，也能更准确评价学习者对数学概念的理解情况．

3.3 画图与问题提出之间的关系

基于以上发现，将教师在画图和问题提出题目上的表现综合起来形成表5．每一格中前面的数字表示在所对应画图上某一表现的教师所提出的对数学知识不同理解的问题数量，后面括号中的百分比表示这一问题数量占其所在列的总问题数量的比例．例如，表格中第一行第一列的7表示完全无法用图示表示或错误表示分数除法意义的11人中提出了完全错误或没有提出问题的数量为7．

卡方分析发现，教师通过画图表现出的对分数除法意义的理解情况与其问题提出中表现的理解情况存在显著相关关系（2=24.46，=4，<0.001），即问题提出能够像常规方式一样评价教师的数学理解情况，如画图或解决问题．不仅如此，在画图题目上完全错误的有11人，而在问题提出上完全错误的仅有6人．而且，在画图题上表现为程序性理解的36人中有19人提出的两个问题都是概念性理解的．因此，问题提出的评价功能要比一般的评价手段更丰富、更能挖掘教师对数学概念的真实理解情况，也能帮助评价者更准确和全面的了解被评价者．当然，如果让教师用两种不同的方式画图，是否会产生与问题提出一样的结果，还需要在未来的研究中进一步验证．

表5 教师在画图与问题提出上的数学理解交叉表

注：表示画图人数；表示教师所提问题数量；括号里的百分数为其所在位置数字除以所在列的总数，如第一行第一列中的32%为7除以22所得．

例如，有教师无法用画图表示自己的解答过程（如图3所示）．

图3 教师无法用画图表示解答过程举例

但提出了如下数学问题：

该教师无法通过画图表示自己对分数除法意义的理解，这也是常规评价手段所存在的弊端，而通过问题提出，研究者可以了解到该教师能够从算理的角度理解分数除法的含义．

3.4 不同背景教师的问题提出与其数学理解之间的关系

通过对教龄和职称的相关性分析发现，教师的教龄和职称呈显著性相关关系（=0.413，<0.01），即教师的教龄越大，职称也就越高，这与我国的教师评聘制度存在明显的关系，也符合常规认识．由于教龄与职称有显著的相关关系，所以下面只讨论不同职称下教师的数学理解情况．

针对于画图题，从教师职称与其在分数除法问题理解上的关系可以发现（如表6），职称越高的教师对分数除法概念的理解越好，但是仍然有一半以上的教师对分数除法的概念是程序性理解．而且相较于具有高级和一级职称的教师，职称在二级及以下的教师对分数除法的理解更倾向于程序性理解（69%）．另外，职称为一级的教师画图错误的比例（21%）也比具有其他职称的要高．

表6 不同职称的教师在画图和问题提出上的表现

注：画图所在列的括号里的百分数为其所在位置数字除以所在行的总人数，如第一行第一列中的13%为1除以8所得；问题提出所在列的括号里的百分数为其所在位置数字除以所在行的问题总数，如第一行第二列中的13%为2除以16所得．

相较于教师在画图上的表现，不同职称教师在问题提出上所表现出的对分数除法意义的理解要更好，每一职称的教师提出的概念性理解问题都比提出错误问题或没有提出问题以及提出程序性理解问题更多．此外，职称越高的教师提出的错误问题或没提出问题的比例也越低．而且从纵向的问题数量比例来看，具有一级职称的教师对分数除法意义的理解与具有高级职称的教师差别非常小，也就是说一级及其以上职称教师对分数除法意义的理解水平相近．

4 研究结果与讨论

4.1 分数除法能够用于了解教师的数学理解

通过分析教师对分数除法意义的理解情况，能够了解他们对除法运算本身概念性内涵的理解程度．在分数除法的运算方面，教师没有任何问题．而在第二题的图示问题上，却有11人完全错误，他们虽然都能正确计算分数除法，但却无法表示自己对分数除法意义的理解．综合来看教师在前两个问题上所表现出的对分数除法运算的程序性理解非常好，这一结论在“问题提出”题目上也有所体现．然而，从画图和问题提出题目上来看，教师的概念性理解并不好，这与已有研究结论也保持一致[23，33]．

另外，因为在问题提出上的数学理解与其在画图问题上所表现的数学理解之间存在显著相关性，可以看出教师在画图和问题提出两种方式下，对分数除法意义的理解程度是一致的．而且所表现出的理解差异和在每一程度上的人数服从正态分布，都可以说明分数除法能够被用于了解教师的数学理解．因此，分数除法问题作为了解教师或学生数学理解程度的一种知识内容具有很好的代表性．这一结果为已有相关研究提供了很好的实证支持[21，46]．

4.2 教师对分数除法的概念性理解较为欠缺

整体来看，教师对分数除法运算掌握得非常好，但对其概念性的理解较为欠缺，有很大比例的教师只停留在程序性理解上，主要集中在被除数与除数的倍数关系，或除法运算转换为乘法运算后再进行画图解释或问题提出．这样的程序性理解虽然正确，但可以看出教师对分数除法运算的概念性理解较为欠缺（以教师为单位来看，仅有29%的教师在画图问题上表现出完全理解分数除法意义，而且也仅有35人，占总数一半稍多的教师所提问题属于概念性理解）．教师对数学知识的理解程度直接影响其教学效果，因此教师的数学理解如果只停留在程序性层面，从而导致学生对数学的理解也只停留在程序性层面上的可能性将会很大．此外，与已有研究结果相似的是，教龄越长或职称越高（通常认为是专家型）的教师对分数除法意义的理解程度也更好[12]．

尽管Canobi和Bethune认为，个体对数学知识的概念性理解越好，其程序性理解就越好，同样地，程序性理解越好，其概念性理解也会越好[17]．但从教师在3个题目上的表现来看，教师对分数除法的程序性理解程度并不一定能够说明他们的概念性理解程度，因为教师在第一题上的正确率为100%，这与在画图题和问题提出题目上的表现并不相同．所以，还需要更多实证研究来进一步揭示程序性理解和概念性理解之间的关系．这一结果与学生在这方面的理解状况一致[47]．

由于研究者在第二个问题上仅让教师用图来表示自己的计算过程，并未提示可以用多种图示方法，因此即便教师的图示属于程序性的理解，也不能完全肯定在图示问题上就没有概念性的理解．例如，当教师被要求用两种不同作图方法表示分数除法的计算过程时，教师们的概念性理解人数是否会增加．因此，接下来的研究还将在原来测试卷的基础上对问题表述进行完善和改进．

4.3 问题提出可以作为诊断和评估教师数学理解的手段

卡方分析表明，教师通过问题提出所表现出的数学理解与画图问题上的表现有显著相关．也就是说，通过问题提出能够帮助研究者了解教师对数学概念的理解程度或类型，同样地，也可以帮助教师了解学生的数学理解．这不仅说明问题提出与数学理解相关，还间接表明了问题提出能力与问题解决能力具有显著的相关性[6]．

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Using Problem Posing to Diagnose and Assess Teachers’ Conceptual Understanding

YAO Yi-ling1, XU Ran-ran2, CAI Jin-fa2, 3

(1. College of Education, Hangzhou Normal University, Zhejiang Hangzhou 311121, China;2. School of Mathematics and Statistics, Southwest University, Chongqing 400715, China;3. Department of Mathematical Science, University of Delaware, Newark DE 19716, USA)

Conceptual and procedural understanding of mathematics was an important research topic in the field of mathematics education. However, research about the relationships between the two types of understanding lacks a clear conclusion and operational approach for diagnosing and assessing learners’ mathematics understanding. This study employs a fraction division question, which was significant to students’ learning, to investigate teachers’ understanding in three ways: calculating the division of a fraction, using a graph to represent the fraction division solution process, and posing mathematical problems based on the expression of the fraction division. This study highlights the usefulness of fraction division for understanding and assessing teachers’ mathematical understanding, teachers’ lack of conceptual understanding of fraction division, and the effectiveness of problem posing as a way to diagnose and assess teachers’ mathematical understanding.

problem posing; conceptual understanding; mathematics teacher; assessment

2019–05–03

西南大学引进人才（教育部“长江学者”讲座教授）计划项目——数学问题提出对教师专业发展和学生创新能力提升的长期跟踪研究（SWU118118）；杭州师范大学教育学院中青年教师项目——数学核心素养与非认知能力关系的评价及发展研究（18JYXK044）

姚一玲（1987—），女，宁夏固原人，讲师，博士，主要从事数学课程与教学论研究．蔡金法为本文通讯作者．

G635

A

1004–9894（2019）04–0030–07

姚一玲，徐冉冉，蔡金法．用“问题提出”诊断和评估数学教师的概念性理解[J]．数学教育学报，2019，28（4）：30-36．

[责任编校：陈汉君、周学智]