高中数学“设而不求”策略应用研究

☉江苏省江阴市第一中学 王 江

一、问题背景

在高中数学中，有一类常见的试题类型，在解题过程中需要设一些题目中并没有给定的变量，但是在解决过程中不需要算出这些变量的具体值，而是通过变形或者简化处理将其消除，这就是本文所说的“设而不求”策略，其实质就是从问题整体出发，根据其结构来进行变式处理，借助科学转化与运算手段最大幅度地降低计算量，经常以参数为过渡，以概念、定义、向量原理、基本不等式以及几何性质等为基础.“设而不求”策略应用广泛，在代数、几何等内容中均有所涉及，比如方程问题、函数问题、导数问题、不等式问题、解析几何问题、向量问题等.

二、案例解析

（一）方程的根问题

案例1已知函数f（x）=x2+ax+b，其中a、b∈R，函数f（x）值域为［0，+∞）.假设关于x的不等式x2+ax+b＜c的解集为（m，m+6），试求解实数c的值.

解析：由题干信息可知，函数f（x）=x2+ax+b的值域为［0，+∞），故判别式Δ=a2-4b=0.不等式x2+ax+b＜c的解集为（m，m+6），也就是方程x2+ax+b=c的两根分别为x1=m与x2=m+6.根据根与系数的关系可知=6，已知x1+x2=-a，x1·x2=b-c，代入上述表达式有=6，将a2-4b=0整体代入，计算可得c的值为9.

总结：在本题的解决过程中，关键的一点就是注意到m与m+6是方程x2+ax+b=c的两根，在后续解答过程中，一般的处理方法是运用求根公式将其求出，但是在本题中无法对其进行求解.由于两根具有“差值为6”这一显著特征，因此将已知条件往两根之差去转化，再通过整体代入的方式来实现“设而不求”的目的，这也是处理方程的根的问题的重要思路方法.

（二）不等式问题

案例2已知抛物线M：y2=4x，焦点为F，过F点作两条垂直直线l1与l2，使得直线l1与抛物线M交于A、B两点，直线l2与抛物线M交于C、D两点，试求解|AB|+|CD|的最小值.

分析：根据已知条件，设出直线l1的方程，将其与抛物线方程进行联立，根据弦长公式确定|AB|的表达式，再根据两直线垂直这一条件得到|CD|的表达式，最后利用基本不等式来求解最值问题.

解析：由已知信息可知，直线l1与l2的斜率均存在且不为0.设A点的坐标为（x1，y1），B点的坐标为（x2，y2），直线l1的方程为：x=ty+1，联立方程组可得y2-4ty-4=0，Δ=16t2+16＞0，满足y1+y2=4t，y1y2=-4.根据弦长公式可得同理可得由基本不等式可知因此|AB|+|CD|≥16，当且仅当，即t=1或-1时等号成立.

总结：在解析几何最值问题中，我们往往结合基本不等式进行处理.建立含参数的关系式，但不求解具体的参数值，而是整理得到基本不等式的形式，借助设而不求的思想方法进行解决，这是解决解析几何最值问题的常用方法.

（三）解析几何问题

案例3如图1所示，已知抛物线的方程为x2=2py（p＞0），M点为直线l：y=-2p上的任意一点.经过M点作抛物线的两条切线，分别与抛物线相切于A点与B点，假设A点在左，B点在右.当M点的坐标为（2，-2）时，试求抛物线的方程以及直线AB的方程.

图1

解析：因为M点的坐标为（2，-2），所以p=1.

所以抛物线的方程为x2=2y.

设A点的坐标为（x1，y1），B点的坐标为（x2，y2），

所以切线MA的方程为：x1x=y1+y，切线MB的方程为：x2x=y2+y.

将M点的坐标（2，-2）代入，可得：2x1=y1-2，2x2=y2-2.

所以直线AB的方程为2x=y-2.

总结：在解决抛物线外一点的切线问题时，可以先设出切线方程，但是不需要进行求解，可解出切点弦以及弦的距离，通过整体代换的方式，利用设而不求的思想，从而得到相应的方程式.

三、结语

“设而不求”的技巧方法在解决高中数学问题时具有广泛的应用，可以很好地拓宽学生的思维，促进学生的动态发展.在教学过程中，教师要引导学生养成全面思考、宏观与微观相结合的思维方式，提高学生的思维与解题能力，进而提升数学教学的效果，促进学生的综合发展.对于“设而不求”这一类问题，教师要形成两个基本的认识：其一是定位明确，全面理解并充分认识这一类问题的灵活性与多变性，强化学生的辩证思维，杜绝机械、呆板的思维方式；其二是突出方法重点，解决学习难点，抓住“设而不求”的技巧方法的重点，即“设什么”以及“如何设”，在此基础上强化学生提取信息以及实现代数变形的能力，这需要学生具备一定的整体思维能力，这也是这一方法的必要素养.