巧用多维视角，妙解三角形试题——2019年全国卷Ⅰ理科第17题赏析

☉福建省福州第十一中学 苏春锋

解三角形主要通过对任意三角形边角关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式等，并借助三角函数中的相关公式加以综合与运算，包括解决一些简单三角形的度量问题及一些与测量和计算有关的实际问题等.该部分是每年高考中的基本考点之一，往往涉及解三角形与三角函数知识，大都运算量大、公式应用多，这就要求我们不仅要具有较高的运算水平、较强的运算能力和较好的记忆能力，还要善于审题与分析，采用有效的策略，优化过程，提升效益.

一、真题在线

【高考真题】（2019·全国卷Ⅰ理·17）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.设（sinB-sinC）2=sin2AsinBsinC.

（1）求A；

本题是解三角形问题中常见的形式，条件中借助涉及角的关系式的给出，进而求解具体的内角A，并借助另一个涉及边的关系式的给出，达到求解sinC的值的目的.破解问题的关键是正确利用正弦定理与余弦定理，通过三角形的边与角之间的合理转化，并借助相应的三角函数公式（主要是三角恒等变换公式、诱导公式以及同角三角函数基本关系等），加以应用，进而得以合理转化与巧妙破解.

二、真题解析

解析：（1）由已知得sin2B+sin2C-sin2A=sinBsinC，由正弦定理，得b2+c2-a2=bc，

因为0°＜A＜180°，所以A=60°.

（2）思维角度1：整体思维

借助条件的转化，利用整体思维来转化sinC=sin（C+α-α）或sinC=sin（C-α+α），其中把相应的角C+α或C-α作为一个整体来进行合理的处理，而另一个角α为特殊角，进而通过三角恒等变换公式来转化与应用.

方法1：（官方标答——整体思维1）

由（1）知B=120°-C，

方法2：（官方改进——整体思维2）

点评：利用整体思维法来处理三角函数求值问题是破解三角函数中比较常见的思维方式.通过把C+60°或C-30°作为一个整体，利用两角和或差的正弦公式加以巧妙转化，结合三角恒等变换公式来处理，从而得以求解.

思维角度2：求角思维

借助条件的转化，利用题目条件直接求解具体角C的值，解决问题时一般要注意角的取值范围的限制，并能加以合理讨论与应用.而此时往往此类具体角为非特殊角，必须借助和或差的三角函数公式来处理与转化，进而得以求解与应用.

方法3：（具体求角思维1）

由（1）知B=120°-C，

方法4：（具体求角思维2）

点评：直接确定对应角的大小来处理三角函数求值问题是破解三角函数问题中比较直接的一种思维方式.结合条件来具体确定角C的大小，从而得以进行合理的三角函数求值.在直接求角时，往往要注意角的取值范围的限制对具体角的大小的分析.

思维角度3：平方思维借助条件的转化，通过含有角C的正弦值与余弦值的一次关系式的两边平方处理，利用平方关系sin2C+cos2C=1的应用与转化，合理转化为含有sinC的二次方程来解决.而涉及二次方程的根的问题，要结合题目条件加以合理讨论与分析.

方法5：（平方思维）

点评：平方思维是借助同角三角函数基本关系式中的平方关系sin2A+cos2A=1来解决一些三角函数问题的一种思维方式.根据条件得到角C的正弦值与余弦值的一次关系式，结合平方关系的应用对相应的一次关系式加以两边平方处理，进而转化为对应的二次方程来解决.

三、解后反思

在利用三角函数破解相应的解三角形问题时，经常会出现多解现象，此时要借助三角形的性质加以合理处理，剔除多余的解.解三角问题中对应的内角的取值范围至关重要，在一些问题中，角的取值范围隐含在题目的条件中，若不仔细审题，深入挖掘，往往疏漏而导致解题错误，一定要引起重视.

利用多个不同思维角度来破解此类解三角形问题，巧妙地把该题的底蕴充分挖掘出来，多思维转化，多角度切入，多方面求解，真正体现了对解三角形知识与三角函数知识的融会贯通，充分展现多个知识点间的交汇与综合，达到提升能力、拓展应用的目的.正如我国著名数学家苏步青先生说过：“学习数学要多做习题，边做边思索，先知其然，然后知其所以然.”