从子列的视角来判定等差（比）数列

陈小红

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等差（比）数列的所有奇数项按照原来的顺序构成等差（比）数列，所有偶数项按照原来的顺序也构成等差（比）数列.反过来，如果一个数列的所有奇数项按照原来的顺序构成等差（比）数列，所有偶数项按照原来的顺序也构成等差（比）数列，原来的数列未必是等差（比）数列.例如，有穷数列1，2，2，4，3，6，4，8的奇数项和偶数项分别按照原来的顺序都构成等差数列，但这个数列本身不是等差数列.若一个数列的前有限项，及某些子列满足一定的条件，这个数列有可能是等差（比）数列.经过探究，有以下两个结论.

结论1.设k为给定的不小于2的正整數，若数列{a_n）的前k项构成公差为d的等差数列，且子列{a_kn-s）（其中s=0，1，2，…，k-l）都是公差为kd的等差数列，则{a_n）;是等差数列.

结论2.设k为给定的不小于2的正整数，若数列{a_n）的前k项构成公比为q的等比数列，且子列{a_kn-s）（其中s=0，1，2，…，k-l）都是公比为q^k的等比数列，则{a_n）

是等比数列.

结论1的证明：因为{a_kn-s）（其中s=0，1，2.…，k- 1）是公差为kd的等差数列，

点评 类似于例1，本题解答中也有两个关键步骤.其一，利用赋值得到相关的方程组来证明3个公差相等，赋值时可使两等式中对应项的下标相差3，两等式作差后的等式中仅有字母d1，d2，d3;其二，是寻找al，a2，a3的关系，也是通过赋值得到方程组并解方程组得到，在方程组中视al与d为已知，视a2与a3为未知.

前面所举的两例难度比较大，给出的解法的共性是明显的，即从它们的子列的通项人手进行深入分析，合理地研究某些项在不同的数列中的关系或者恰当地赋值得出方程组进而得出子列的公差（比）相等，得出子列的通项公式，最后给出原数列的通项公式，再判断数列为等差（比）数列.当然，对于例2还有其他的解法，本文仅仅是提供了一种解决这类问题的视角以分享.