关于一类超越函数的极限与导数问题的探究

黄家云

关于一类超越函数的极限与导数问题的探究

黄家云

（芜湖职业技术学院基础部，安徽芜湖，241003）

利用指数函数与对数函数互为反函数的关系，把超越函数转化为初等函数，进而给出这类函数的极限与导数求解的一种可操作性路径，有效解决了这一微积分教学中的难点，对这一知识点的学习和应试也有一定的借鉴价值。

超越函数；幂指函数；极限；导数。

引言

受文[1]的启发，利用幂函数与指数函数之间的关系，探索将“幂指函数”转化为复合的初等函数，进而给出这类函数的极限与导数求解的一种可操作性路径，有效解决微积分中这一教学难点，对这一知识点的学习和应试也有一定的借鉴价值。

1. 关于幂指函数的极限

1.1 基本原理

根据定理1，可以得到下面的关于复合函数极限计算的公式。

1.2 应用举例

注1：在未定式极限的问题中，函数的局部往往是无穷小量，如果适当采用穷小量的替换，那么将会一定程度上简化计算。为此，需要总结和记忆下面一些常用的等价无穷小量替换模型：

2. 关于幂指函数的导数

2.1 基本原理

2.2 应用举例

命题2，可得

数学思想是解决问题的指南，“化归”是数学学科一以贯之的思想。在一个数学难题陷入山穷水尽疑无路的困境时，如果能充分利用化难为易、化未知为已知等化归思想，那么将使得问题迎来柳暗花明又一村的豁然开朗境界。在数学的教学和学习中，要充分感悟和领会化归思想的“化腐朽为神奇”的数学魅力。

[1]李艳午,黄家云. 关于第二个重要极限的一种简便证明[J].山西师范大学学报(自然科学版), 2016(1):38-39.

[2]姜作廉. 高等数学[M]. 北京:高等教育出版社, 2007.

[3]同济大学数学系. 高等数学[M].北京:高等教育出版社, 2007.

[4]同济大学数学科学学院. 硕士研究生入学考试数学复习与解题指南[M]. 上海: 同济大学出版社, 2017.

On the Limit and Derivative of a Class of Transcendental Functions

HUANG Jia-yun

By use of the relation that exponential function and logarithmic function are opposite to each other, Transcendental function was transformed into elementary function, and then an operable path to solve the limit and derivative of this kind of function was given to effectively solve this difficulty in calculus teaching and provide certain reference for this learning point and examination tactics.

transcendental function; exponential function; limit; derivative.

O171

A

1009-1114（2019）02-0030-04

2019-03-29

黄家云(1966.11—)，安徽铜陵人，双学士，讲师，研究方向为高等数学和数学建模。

研究项目：安徽省2016年自然科学研究重点项目(编号：KJ2016A760)；2018年校级数学建模名师工作室项目。

文稿责编 刘有新