非互易旋电材料硅基矩形波导的色散特性研究*

王慧莹 王智2)† 崔粲 李航天 李强 詹翔空 王健 吴重庆

1)(北京交通大学理学院光信息科学与技术研究所,发光与光信息技术教育部重点实验室,北京 100044)

2)(集成光电子学国家重点联合实验室,北京 100083)

1 引 言

光子单向边缘态是2008年由普林斯顿大学的Haldane(2016年诺贝尔物理奖得主)提出的[1],他预言了磁光光子晶体的边界可以存在单向电磁边界模式(one-way electromagnetic edge mode,OWEM)[1−3],即被约束在磁光光子晶体边界的表面波,其主要特征是它的群速度仅指向一个方向.由于外磁场的作用,磁光晶体介电张量中的非对角元发生改变,产生旋电各向异性,时间反演对称性被破坏,使得被局域在介质与等离子材料交界面的表面等离子体(surfaceplasmons,SPs)表现出非互易传播的特性[4,5],这种非互易SPs被称为表面磁等离子激元(surface magnetoplasmons,SMPs)[6,7].当等离子材料的电子回旋频率与其等离子频率的量级大小可以比较时,SMPs的渐近频率在前后两个方向上会有明显不同,使得SMPs在两个不同渐近频率间隔之间的区域单向传播,而完全不存在反向传播模式,反向的散射被完全抑制.2009年,麻省理工大学的Wang等[3]首先在微波系统中使用磁光材料光子晶体,用实验证明了OWEM的存在.此后,不断有科研工作者对单向光子晶体波导进行研究,实现了光隔离器[8−12]、光环形器[13−16]、光开关[17,18]等非互易光学器件.近期的研究主要集中在磁光材料混合的太赫兹平面波导结构[19,20].例如2017年,Tsakmakidis等[20]设计的波包进出时间非对称的磁光材料混合平面波导系统,其中的平面波导支持光子单向边缘态,因此系统的洛仑兹互易性被打破,在太赫兹波段将传统的时间-带宽限制提高了两个数量级.

本文对光通信C波段旋电材料的非互易矩形波导进行讨论,研究在外磁场作用下表面磁等离子体激元在旋电材料矩形波导中非互易传播的特性.利用有效折射率法[21]推导矩形波导中导模的色散方程,通过数值计算分析矩形波导结构及材料参数的改变对其非互易色散关系、时延特性的影响.

2 非互易矩形波导结构及色散方程

2.1 波导结构与旋电材料介电张量

光通信C波段旋电材料的矩形波导结构的截面如图1所示,该波导由电介质层(Si)、光通信C波段旋电半导体层(gyroelectric semiconductor,GS)以及四面有界的外包层(Ag)组成.其中波导芯区的y方向和Si层x方向的宽度分别为2a和d,选取Si和GS交界面的中心为原点建立二维直角坐标系,z轴垂直于纸面向里.在–y方向上对旋电半导体层施加静磁场B0,由于磁场对介电张量的影响[2]使得SMPs在旋电材料矩形波导中沿z轴正方向非互易传输,打破了该波导系统的洛伦兹互易性[20].

外加磁场与光传输方向垂直并与波导分界面平行,根据法拉第效应,介质在电磁场作用下,介电常数为二阶张量[6,19]表示为

2.2 有效折射率法推导矩形波导色散方程

利用有效折射率法,把一个二维矩形波导近似看成两个一维平面波导(planar waveguide,PW)的组合,即x方向受约束的平面波导PW1和y方向受约束的平面波导PW2,分别见图2(a)和图2(b).

图2 有效折射率法的两个等效平面波导截面图(a)x方向受约束的平面波导PW1;(b)y方向受约束的平面波导PW2Fig.2.Sectional views of two equivalent planar waveguides by effective refractive index method:(a)Planar waveguide PW1 with x direction constraint;(b)planar waveguide PW2 with y direction constraint.

波导外包层(xd)

对电各向异性介质,在主轴坐标系中D=εE,利用(1)式可得

由(7)式得到电场分量Ez,

分别利用x=0 和x=d处的边界条件,即Hy,Ez连续,可得到关于待定系数A1,A2,B,C的方程组:

方程中参数及其含义如下:ka为的传播常数;在电介质 Si层其中k0=ω/c为真空中传输波的波矢,Si的相对介电常数为该层厚度为d=0.14λp,其中λp=2πc/ωp,ωp=5.1613π×1014rad/s;在旋电半导体层αs=为旋电半导体 Voigt介电常数;在波导外包层外层材料的介电常数.

由(10)式可计算得到ka-w关系,从而得到有效折射率即y方向约束的平面波导PW2的芯区折射率.

在PW2中y轴方向的y=±a处,即波导左右外包层与波导芯区的两个交界面,利用Ex,连续的边界条件,分别可以得到Ex和连续.

在y=a处,

在y=–a处,

消去方程组(12),(13)中的待定系数,可以得到

3 波导宽度对非互易色散特性的影响

利用色散方程(16)计算出不同芯区宽度的矩形波导色散曲线,如图3(a)所示,波导结构为Ag材料四面包裹电介质层和旋电半导体层,参数见2.2节.由于对洛伦兹互易性的破坏,其色散曲线关于波矢k不对称,在不对称的频率(图中两红色水平虚线之间)区域内可以实现完全的单向传输,波导表现出非互易性.从图3(a)可以看出,随着矩形波导半宽度a由 0.02lp,0.04lp,0.06lp,0.08lp,0.12lp增大至 0.16lp,其色散曲线自然趋向平面波导的色散曲线(图3(a)蓝色实线),但是非互易的频率区间基本不变.

为了讨论非互易波导的缓存性能,图3(b)给出了不同半宽度a的矩形波导,其SMPs波归一化群速度vg/c=dω/(c·dk)与归一化角频率w/wp和归一化传播常数k/kp的关系.从图3(b)可以看出,不管是随着w(虚线)增大还是随着k(实线)增大,均出现SMPs波群速度减慢现象.为了研究波导宽度对群速度减慢效应的影响,图3(c)给出了工作波长l在1530,1550和1565 nm处的归一化群速度随波导宽度的变化.波导半宽度a在0.06lp(波导宽度 2a=140 nm)与 0.10lp(2a=233.5 nm)之间的vg相对较低,在约0.08lp处达最小值.而且随l减小,vg减小,图中最小群速度达到 5.43×10–2c.这一结论表明,宽度适当的矩形波导的非互易慢光效应比平面波导的非互易慢光效应更明显,而且在C波段工艺容差较大(约为93.5 nm).

图3 (a)不同芯区宽度的矩形波导色散曲线;(b)不同芯区宽度的矩形波导中SMPs波单向传输区域的群速度;(c)不同波长的SMPs波群速度随芯区宽度的变化Fig.3.(a)Dispersion curves of rectangular waveguide with different core widths;(b)group velocity of one-way SMPs transmission region in rectangular waveguide with different widths;(c)variation of group velocity of SMPs with different wavelengths with different core widths.

4 折射率对非互易色散特性的影响

本文计算了矩形波导左右外包层分别为半导体 SiO2、空气 Air、金 Au、银 Ag 时的色散曲线,如图4(a),材料折射率从 0.14,0.52,1.00 到 1.45,其色散曲线逐渐趋向平面波导色散曲线.图4(b)是单向传输区域中SMPs波归一化群速度vg/c与归一化角频率w/wp和归一化传播常数k/kp的关系,该图显示出与图3(b)相似的规律,即SMPs波vg随w(虚线)或k(实线)的增大而减慢.随着材料折射率递减,SMPs波群速度逐渐减小,群时延增大,慢光效应越明显.矩形波导左右外包层材料为 Ag 时 SMPs波群速度最小(vg=2.8×10–3c),慢光效应最显著.

图4 (a)不同材料的矩形波导色散曲线;(b)不同材料的矩形波导中SMPs波单向传输区域的群速度曲线Fig.4.(a)Dispersion curves of rectangular waveguide with different materials;(b)group velocity of one-way SMPs transmission region in rectangular waveguide with different materials.

5 结 论

本文理论分析了一种基于光通信C波段旋电材料的矩形波导结构,研究了该矩形波导在外磁场作用下表面磁等离子体激元非互易传播的特性,推导了矩形波导中导模的色散方程,并对其色散关系、时延特性进行了分析.由于洛伦兹互易性的破坏,该矩形波导的能带结构关于波矢k不对称,在不对称的频率区域内可以实现完全的单向传输.矩形波导芯区宽度和外包层材料折射率对非互易色散特性有明显影响,SMPs波群速度随w,k减小,且矩形波导的慢光效应优于平面波导,在C波段可获得约93.5 nm工艺容差.Ag包裹波导时,SMPs波的群速度最小可达 2.8×10–3c.