整体观指导下培养学生数学核心素养的实践

程新展

摘   要  学生思维的“启发度”把握不当，数学核心素养庸俗化，是教学设计缺失整体观的主要表现。通过关注知识结构理解数学、关注认识结构理解学生、关注认知结构理解教学，是以认知论和整体观指导教学设计的正确方向。

关键词  整体观  三个结构  三个理解  核心素养

数学学科核心素养是数学课程目标的集中体现，是在数学学习和运用过程中逐步形成和发展的既相对独立又互相交融的一个有机整体。崔允漷先生提出了课堂教学设计要把分散的知识概念组成结构化的大观念、大主题、大任务、大项目的问题解决学习策略。其把课程建设形象地喻为房屋建造：每个具体知识点如水泥、钢筋和门窗形成了一个楼道，每个单元知识如楼道形成了一幢楼。因此，如何在数学教学设计中以整体观为指导，把握好数学素养，提高数学的育人价值，是值得每一位数学同行认真思考的问题。

一、教学设计缺失整体观的现象分析

教学中有一种较为普遍的现象：课堂上概念、公式、定理一个个地讲，思想、方法一个个地教，基本上教得清楚，讲得明白;但对整本书、整章以至于整节的结果，学生学完后却很少能“悟”到什么。这种现象在中学数学教学中表现得十分明显，这是数学教学的认知结构特别是整体观缺失的很好例证。

1.学生思维的“启发度”把握不当

由于教师对实质性结构知识的欠缺，导致教师课堂上抓不住内容的核心，设计不出利于学生知识理解的教学主线，当然也更难提出对学生思维有“适度”启发的挑战性问题。因此，教师教学就事论事，缺乏应有的瞻前顾后，长此以往导致了学生思维呆板、思路狭窄，纠缠于内容的细枝末节，局限于一招一式的“雕虫小计”而不能自拔。不仅浪费了学生的时间，也影响了学生对数学的认识，数学核心素养的形成和发展更是无从谈起。

如笔者参加了我市组织的一个星级高中教学督导评估活动，听了一节“正弦定理”的新授课。课上，教师在得出定理的形式后，为了给出定理证明，作了如下的启发引导：这是三个式子连等的形式，可以先考虑证明其中的两式相等，余下的再看能否同理可证。如要证明■=■，即证asinB=bsinA。如图1，asinB和bsinA有什么几何意义？

图1

通过这一问题的“强力”引导，学生很快发现了它们都是AB边上的高线长，证明自然也就“水到渠成”。但这表面上的“顺利”，使学生失去了一次极好的实质性数学思考的机会。

教师提问题的质量决定了教学的质量，而问题的质量主要体现在“启发度”的把握上。首先，在寻求定理证明思路的过程中，正弦定理的对称式结构具有很好的先行组织者作用。而教师的问题，让学生失去了通过分析定理的结构特征，构建简洁证明思路的机会。其次，将定理形式变形为asinB=bsinA，这是发现其证明方法至关重要的一步，被教师点明后，本课的思维教学价值被大幅度降低。最后，AB边上高线CD是联系asinB和bsinA的桥梁，是正弦定理的“题眼”，教师在给出图形的同时，还提示了它们的几何意义，对于大部分程度较好同学来说，这种提示扎破了“题眼”，堵塞了他们的思维空间。

2.数学学科核心素养庸俗化

日常教学中，我们在关注知识发生发展的过程中，常常提供较为丰富的背景材料用于学生的抽象概括，这本是一个很有意义的过程。但有不少教师仅仅是出于“抽象概括是数学核心素养”的考量，能在课堂上体现的就尽量体现，对该不该体现、该如何体现、该何时体现都鲜有考虑，结果反而削弱了学生对数学整体结构的认知。类似情况也经常出现在其余的数学核心素养中，致使数学核心素养庸俗化。

如在椭圆的标准方程教学中，很多教师片面地理解课标“经历从具体情境中抽象出椭圆的过程”的要求，把椭圆的数学抽象放在本节课的教学重心上，而且在设计这种抽象过程时，又严重脱离了数学的逻辑支撑。一位教师作了这样的设计：请同学们观察这个水杯（圆口）的水面，当水杯平放着时，我们可看到一个圆;当水杯倾斜时，看到的又是什么呢？这种形同虚设、毫无意义的设计，不仅没有完成数学抽象的要求，反而严重破坏了学生的认知结构。学生连椭圆是什么都不知道，却能把椭圆抽象出来，这无疑是荒唐的。

二、以整体观指导教学设计的实践策略

教育要为学生谋取长远利益，数学教育应在数学的情境中进行育人的教学。课程目标下数学的知识结构和学生的认识结构成为我们设计教学时首先要考量的问题，这是数学育人的基础。如果我们还能从认知结构的角度出发开展教学，那么学生的数学能力就有了“附着点”，提升学生的核心素养就有了“着地点”。因此，关注“三个结构”是以认知论和整体观指导我们教学设计的正确方向。

1.关注知識结构—理解数学

知识结构是指知识本身的逻辑体系。数学的本质是数学知识的整体化、结构化和内在联系。知识结构中的数学知识所蕴含的思想方法，保障了知识内容的层次性和联系性。布鲁纳说：获得的知识，若没有一个完满的结构把它们联在一起，那是一种多半会被遗忘的知识。因此，只有准确把握数学的知识结构，才能理解数学。

在正弦定理教学中，根据三角形全等的“基本事实”，由所给三角形的SAS、AAS或SSS，可求出其余的边或角，是正（余）弦定理的本质。从整体知识结构来看，一个三角形的其他各种几何量如面积、高线、中线、角平分线、外径、内径长等都可以由所给的这样一组量来表示;同时它们之间又有着极其丰富优美的关系，且在一定条件下又可以相互表示，这是正（余）弦定理产生的源头。

因此，本课的教学应从学生已有的三角形知识结构（定性、定量的认识）出发设计问题，并以此为线索，贯穿于课堂的始终。在定理的发现阶段，加强三角形几何量之间关系可以相互表示的引导;在定理的证明阶段，从知识间的联系上予以启发，让学生通过对几何量基本关系表达式的灵活变形，探寻不同方法。

问题1：在一个三角形各种几何量之间存在的各种关系中，你知道了其中的哪些？

问题2：从定性到定量是数学研究的基本过程，从定量角度看三角形全等的基本事实，你能想到什么？

问题3：对于直角三角形，我们已经知道了勾股定理和边角之间的关系，那么对于一般三角形的边角之间又有着怎样的定量关系呢？

追问1：由特殊到一般是研究数学问题的常用策略，你能利用直角三角形的有关结论，探索一般三角形边角之间的关系吗？

以上设计，从整体上把握内容，通过从正弦定理产生的源头出发宏观提出问题，使定理的发现和证明一气呵成，体现了转化的数学思想和由特殊到一般的思维规律，使学生的学习过程成为在教师引导下的“再发现”过程，不仅省力、省时，而且立意高远，学生对正弦定理的认识更全面、更深刻。

2.关注认识结构—理解学生

认识结构是指人在认识活动中的心理过程和个性差异，前者包括人的知觉、感觉、想象、记忆、思维和注意，后者包括人的能力和性格等。学生认识结构的差异，会造成其学习力的差别。学生的认识活动总是和积极的情感相伴随，愉快的情绪是认识活动的动力和积极性的源泉。

对学生认识结构的把握，是帮助学生了解数学思维逻辑、提高学生思维品质的关键。这就要求教师在设计教学时要注意采用符合学生认识结构的方式，循序渐进，并时常关注其认知心理、个性品质认识的变化，以及对问题演绎推进的合理性和必要性的把握;要耐心细致，以情激情，提高学生思维的主动性;要客观面对学生的个体差异，用发展的眼光看待学生，增强学生的自信心。因此，理解学生的认识结构的教学就是理解学生的教学。

教之道在于“度”，学之道在于“悟”。在正弦定理的教学中，从认识结构上来看，学生在解决问题的策略和数学思想方法方面，对于如何从定性到定量地研究问题以及从知识的相互联系性出发发现解题思路等方面，都已具备较多学习经验。问题1、问题2、问题3和追问1给学生留有充分的悟的时间和空间，是需要跳一跳才能摘到果子的;认识能力较强的同学可以在问题3提出后，就展开独立研究或投入到小组的交流、研讨活动中。考虑到学生在认识水平上的差异，针对能力水平较低的同学，教师还要注意从宏观逐步过渡到微观，对学生思维的引导不断具体化，如在追问1的基础上，可再具体追问。

为了建立数学内部不同分支之间的联系，提高学生对数学的整体性认识，激发学生学习数学的兴趣，利用上述基本图形证明定理后，教师还应根据学生的认识能力，在课堂或作为课堂教学的延伸，进一步引导学有余力的学生探索其他的证明方法，如利用向量的数量积产生三角函数、借助三角形的外接圆转化为直角三角形的问题、在坐标系中利用三角函数定义等不同证法。

3.关注认知结构—理解教学

认知结构是指知识内容和组织这些内容的方式，并以同化、顺应和平衡的形式表现出来。奥苏贝尔指出：原有认知结构是通过它的可利用性、可辨别性和稳定性（清晰性）三个特性（统称为认知结构变量）来具体影响着有意义学习的进程。可利用性是新旧知识互相同化的落脚点，没有这种旧知，新知的学习只能是机械的、死记硬背的;可辨别性是新旧知识之间的差异程度，只有当学生能清晰地分辨出新旧知识间的差异时，他们对新知的学习才是有意义的，否则就会导致学习上的负迁移;稳定性（清晰性）为新知的学习提供了同化的固定点和方位点，如果学生对旧知的掌握是模糊的、不牢固的，那么学生对新知的学习就不可能是有意义的、更不可能是顺利的。因此，塑造学生良好的认知结构，使他们具有不断吸收并同化新知的能力，就是理解教學。

椭圆的教学，是建立曲线与方程思想后，真正意义上研究的第一个重要曲线。因为曲线与方程概念是高中数学学习中公认的难点，学生认知的冲突难以解决，2017年版高中数学课程标准根据学生认知的需要，调整了课程结构，其中在内容条目上删除了曲线与方程，把曲线与方程的概念处理为：“平面解析几何背后的思想逐步加以渗透”。因此，从本质上看，本节教学要进一步突出强调坐标法思想的研究“规则”：准确找到一种曲线的几何条件，将其转化成代数形式并同解化简为二元方程，再合理解释以二元方程的解为坐标的点都在曲线上。

因此，从塑造学生认知结构的角度出发，在规则下完成坐标法的完整过程才是本课教学的中心任务，这个过程与逻辑推理、数学运算和数学抽象等核心素养都息息相关，它清晰、连贯、稳定、包容、可辨别，可使学生较好地获得新的认知。而上文所提及的“把椭圆的数学抽象放在教学的重心上”显然是不当的。

章建跃先生指出：高水平的教学设计应建立在理解数学、理解学生、理解教学的基础上。教师对这“三个结构”的整体把握水平，体现了教师在“三个理解”上所达到的高度，把它们有机融合起来，更有利于正确把握数学学科核心素养，建立良好的数学教育整体观，使数学教育步入良性循环的轨道。

参考文献

[1] 章建跃.章建跃数学教育随想录下卷[M].杭州：浙江教育出版社，2017.

[2] 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版）[S].北京：人民教育出版社，2018.

[3] 王海青.数学史视角下“正弦定理”和“余弦定理”的教学设想[J].教学与管理，2017（10）.

[4] 张曜光.以数学教育的整体观把握数学学科核心素养[J].课程·教材·教法，2018（07）.

[5] 余文森.论有效教学的三条“铁律”[J].中国教育学刊，2008（11）.

【责任编辑  郭振玲】