从问题讨论走向教学研究——方向角和方位角的是非曲直

☉甘肃省山丹县山丹育才中学 脱文林

一、问题聚焦

图1

近日，在张掖市初中数学教师的一个微信交流平台有过下面一段讨论：

例1（人教版初一数学）在如图1所示的方位角中，射线OA表示的方向是（ ）.

A.东偏南30° B.南偏东60°

C.西偏南30° D.南偏西60°

TeacherZhang：大家帮忙看下这道题的A、B选项.

TeacherYu：南偏东60度.

TeacherHua：南偏东60度，地理位置以正北、正南为基准！小学六年级时选A、B都对！

TeacherChao：标有30度角，显然A最合适，六年级时学的，当然在多选题中B也正确.

TeacherFen：@TeacherZhang这个问题的表述首先不严谨，方向角与方位角是两个概念，这应该是针对方向角的.现行教材中小学与中学脱节，小学要求低，A的说法也对，只要学生能清楚描述一个方向就行，但A的描述不规范，我支持TeacherHua的意见.

TeacherLin：方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达成北（南）偏东（西）×××度.方位角指从标准方向的北端起，顺时针方向到直线的水平角称为该直线的方位角，方位角的取值范围为0°～360°.

在中小学数学教学中，多数教师认为“方向角”和“方位角”是一回事，即平面内用方向来表示目标相对于参照点的位置.随着讨论深入，大家的思路从问题解析走向概念辨析，解释了方向角、方位角的不同，讨论还在继续.方向角与方位角之间的关系到底是什么？为什么小学与中学对“表示方向”的表述不同？为什么中学教材在方向角与方位角问题上闪烁其词？这些问题都有必要思考和考证.

二、权威考证

《中学几何辞典》中的解释：

方向角：指北或南方向与目标方向线所构成的小于90°的水平角.

方位角：从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角.

《简明数学辞典》中的解释，引自笛卡儿《更好地指导推理和寻求科学真理的方法论》：

方向角：平面直线的方向角是指该直线与x轴正方向所构成的最小正角或零.空间直线的方向角是指该直线与三个坐标轴正方向所构成的正角.如果没有指定空间直线的方向，则有两组方向角，分别对应直线的两个不同指向.

方位角：一条直线或一个天体所在的垂直平面与子午面之间的夹角.

“科普中国”科学百科词条，引自《数学辞海》第1卷（南京：东南大学出版社，2002）：

方向角【directionangle】，指的是采用某坐标轴方向作为标准方向所确定的方位角.方向角是从正北或正南方向到目标方向所形成的小于90°的角.通常表达成北（南）偏东（西）××度，若正好为45度，则表示为东南（北）方向或西南（北）方向.

方位角又称地平经度【Azimuth（angle），缩写是Az】，是在平面上量度物体之间的角度差的方法之一.是从某点的指北方向线起，依顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角.由于每点都有真北、磁北和坐标纵线北三种不同的指北方向线，因此，从某点到某一目标，就有三种不同方位角，真方位角，磁方位角，坐标方位角.

三、明晰关系

通过考证，“方向角”和“方位角”都是在参照点的基础上，用基准线与目标线的夹角描述平面位置的方法，但它们描述的方法不同，是两个不同的数学概念.方向角乃一平面角，系一直线与南或北方向线所夹的锐角，是用来标出两点方位的方法之一.与方位角不同者，方向角系分由南、北起算，角度值在0°至90°之间，方向角之表示方式乃是在角度值之前冠以南、北字样，其后则书出东、西字样.方位角指从标准方向的北端起，顺时针方向转到直线的水平角，它的取值范围为0°～360°.

四、小学教材教错了吗？

学生对图形与位置的认知，起始于三年级下册第一单元位置与方向（一），要求学生结合具体情境，给定四个方向中的一个方向，能辨认其余三个方向，知道东北、西北、东南、西南四个方向，能看懂简单的平面图，初步形成辨认方向、表达与交流物体所在方向的能力.六年级上册第二单元位置与方向（二），提高了要求，能根据物体相对于参照点的方向和距离确定其位置，会描述简单的路线图，学会通过方向和距离表示平面位置的方法，初步感受坐标法的思想.

三年级下册位置与方向（一）

图2

六年级上册位置与方向（二）

图3

课标的要求、教材的编写，让我们感受到了伴随学生的成长，“知识呈现螺旋式上升”的显著特点.小学低段能辨认东、西、南、北、东北、西北、东南、西南八个方向，小学高段能根据任意物体相对于参照点的方向和距离确定其位置，在上图人教版六年级上册教材给出了“东偏南30°”的表述，同一方向在七年级教材中被规定描述为“南偏东60°”，并且强调“以正北、正南为基准，描述物体运动方向”，那么小学教材写错了吗？

我们的教学活动必须从学生的认知特点出发，小学生的数学思维以形象思维为主，到了初中阶段开始向抽象思维过渡，小学与中学因学生认知水平不同，教学要求也就不同，小学强调学生能直观、准确描述一个方向就行，不必过于计较“东偏南30°”与“南偏东60°”.但到了中学阶段，对方向角的描述要符合学科表达规范，强调了“以正北、正南方向为基准”，这不是严格意义上的知识矛盾，是随着学生认知发展知识逐步完备的过程.

五、初中教材之体现

人教版教材七年级上册第四章“几何图形”中4.3.3“余角与补角”一节内容的编排中，涉及方向角的内容仅为一个例题，如下：

例2 如图4，货轮O在航行过程中，发现灯塔A在它南偏东60°方向上.同时在它北偏东40°、南偏西10°、西北（即北偏西45°）方向上分别发现了客轮B、货轮C和海岛D.依照表示灯塔方位的方法，画出表示客轮B、货轮C和海岛D方向的射线.

图4

图5

本题旨在进一步渗透极坐标思想.七年级下册第十一章“平面直角坐标系”中7.2.1“用坐标表示地理位置”一节内容强调“一般地，可以建立平面直角坐标系，用坐标表示地理位置.此外，还可以用方向和距离表示平面内物体的位置.”《义务教育数学课程标准（2011年版）》对初中阶段图形与坐标的具体要求是：结合丰富的实例进一步体会用有序数对可以表示物体的位置，在实际问题中，能建立适当的坐标系，描述物体的位置.可见，方向角在淡出初中阶段确定位置的学习，由于平面直角坐标系的引入，初中教学更着重于用坐标表示地理位置.

人教版初中数学教材中始终没有“方向角”的说法，但2004年6月第一版七年级上册教材，提到了“表示方向的角（方位角）”，后来2012年6月第一版又删除了“方位角”的字样，教材前后的这种细微变化，从有“方位角”一说到今天的忽略，是回避方向角与方位角之争？还是暗示方向角与方位角本质上的相容相通？

2004年6月第一版

图6

2012年6月第一版

图7

“科普中国”科学百科对“方向角”的解释“指的是采用某坐标轴方向作为标准方向所确定的方位角”，充分说明了方向角与方位角的从属关系.方向角与方位角的争与不争，争在于概念的清晰界定、规范的数学表达，不争在于概念的发展演变过程、使用范围及其本质的关联.教材不经意的回避，意在淡化概念，指向“不必过分追究”，实则引发更加激烈的争论，这一点应该是教材编者没有充分预料到的.

六.百家之言

通过微信平台的讨论，方向角和方位角的是非曲直大家已了然于心，平台上教师们的讨论仍在继续，更具个性化的思考展现了教师们从问题探讨到教学研究后获得的愉悦感.

TeacherHong：方向角以正东、南、西、北方向为基准，偏的度数小于45°度，对学生来说更有方向感.比如，如“东偏北20°”，比“北偏东70°”更恰当，都70°了还偏，似乎偏太多了.

TeacherKai：如果只说方位，不说方位角，就避免这样的问题了！

TeacherFen：伴随学生认知发展，知识体系逐步完整，我们从学生知识体系看，也能发现一些教材前后要求不同的端倪.小学阶段学生对余角与补角的认识停留在感知层次，因此有了“东偏南”等直观解释，七年级对这一点进行了规范要求.

TeacherChen：小学学习主要是从认知开始，教材的编写是逐步螺旋上升的，初中后就要逐步规范数学语言，形成更强的数学逻辑思维！

TeacherLong：受知识基础的制约，初中阶段学生认识的角主要是小于平角的，这达不到方位角的要求，因此才产生方向角的补充概念，真相是这样吗？

TeacherFen：我们使用的教材也在逐步完善，现在的忽略是为了降低学生的认知负荷，但教师还是应该弄清楚真相.

…………

裴光亚老师在《数学教师的特有语言与个性特征》一文中指出，在中学数学教学中，我们常对一些概念“不做严格的定义”，或者“避免抽象地对它们下定义”.为了有效实现课程目标，我们必须正视教学中的课程内容与学生经验的矛盾，当学生的理解力不适应数学的抽象性时，我们应该怎么办？如果我们无视矛盾的存在，学生失去的将不仅仅是对相关内容的理解，还有对数学的感受、学习数学的愿望，同时失去了达成各种目标的可能性，这是非常可怕的，正是在这样的两难选择中，我们站在了人本立场上，维护学生的天性，而暂时牺牲数学的抽象性.