例谈分类讨论数学思想方法的教学策略

☉安徽省铜陵市第八中学 潘楷佳

当前，如何通过课堂教学培养学生的数学学科核心素养，是各地教师学习与研究的首要任务.罗增儒说：“数学学科核心素养是数学思想中的DNA”.也就是说，数学思想是数学学科核心素养的表现形式，它们都具有持续性、可迁移性，对数学课堂教学具有导向性作用.在《义务教育数学课程标准（2011年版）》中，专门用一个自然段表述了数学中的分类思想，强调对事物共同特性的抽象、分类思想的感悟和经验积累.各地对分类讨论思想的研究一直没有停止过，在分类意识、分类标准、分类原则方法、教学建议等方面都有理论上的思考，但缺少课堂案例研究的文献.本文从新知学习、习题教学、专题教学课堂实践的几个片段出发，谈谈分类讨论数学思想方法的一些教学策略，供研讨.

一、分类讨论数学思想要在探究中渗透

分类思想体现在一个事物的几个方面，分类后要求对有着共性的这几个方面进行讨论.学生对分类思想要慢慢感悟才能领会，要靠教师在课堂教学中不断渗透，才会有经验积累，直至自觉运用.这与人类认识事物的规律是一致的.

案例1：人教版数学教材第27.2节第1课时“平行线分线段成比例的基本事实及其推论”.

师：大家先分成4个大组，分别探究下列4个问题，再合作交流.探究如下：

探究：如图1，任意画两条直线a、b，再画三条与a、b都相交的平行线l1、l2、l3.分别度量l1、l2、l3在直线a上截得的线段AB、BC的长度和在直线b上截得的线段DE、EF的长度，各组分别借助计算器求下列比值：.它们相等吗？平移直线l3的位置，它们还相等吗？

在学生分组验证合作交流后，知道直线a、b上被截下的4条线段，只要它们的位置是对应的，就都成比例.但这还不足以突出这个基本事实的内在联系，又因该结论的证明较难，所以要再次验证，以抓住本质.

图1

师：这4条对应线段成比例的本质条件是什么？如何探究？请看几何画板.

追问1：如果改变这些平行线之间的距离，它们的比值还相等吗？

追问2：如果改变直线a、b的位置，它们的比值还相等吗？

追 问3：如果使l1、l2、l3不平行，它们的比值还相等吗？

生1：我发现，对应线段成比例，与直线a、b的位置无关.

生2：我发现，对应线段成比例，与平行线l1、l2、l3之间的距离无关.

生3：我发现，只要保持l1∥l2∥l3这一关系，对应线段就都成比例.

师：很好！事实上，三条平行线之间的对应线段成比例的本质条件就是这组直线的平行关系.如何归纳这个事实呢？

生4：两条直线被三条平行线所截，所得对应线段成比例.

师：这个结论叫“平行线分线段成比例的基本事实”.这里用几何画板验证时以改变不同直线位置关系为标准，进行了分类探究，体现了数学上的分类思想.

反思：本案例用几何画板的功能观察对应线段比值大小与直线的位置、平行线之间的距离、直线的平行关系中哪些有本质联系，这就是分类讨论；学生分组探究不同对应线段的比值关系也是分类讨论，都渗透着分类思想.事实上，人教版初中数学教材中比较典型的分类问题有100多个，如一个数的平方根、特殊到一般地获得抛物线的性质、圆周角定理的证明等.同时，学生的课堂活动也充满了分类.学生在做数学时具有偶然性、特殊性，分别代表了不同的类，需要教师帮助学生归类和分类，获得数学知识.因此，教师借助多媒体工具，引导学生在探究新知的过程中进行渗透与显化是数学思想教学的一种有效策略，能促进学生感悟分类等数学思想.精心设计问题，引导学生合理分类讨论，有助于培养学生发现问题、解决问题的能力，可以促进学生的认知形成，积累分类等数学活动经验.

二、分类讨论数学思想要在比较中感悟

在遇到分类的问题时，要把一个问题分为几类，并进行比较和反思，再分门别类地一一讨论.所以比较是分类讨论的前提，有比较才有鉴别.

案例2：比较a与的大小.

师：很好！在大小比较的问题中，先判断相等的条件是关键.当a≠±1时，a与就不相等了，此时按照a的值的大小应当分为几类呢？

生2：可以借助数轴发现，分为4类：a＜-1，-1＜a＜0，0＜a＜1，a＞1.

生3：不对，漏了a=±1这类了，应分为5类.

生4：我分别根据a的大小范围取值验算过，分为4类：①当a=0时，不存在；②当a=±1时，相等；③当-1＜a＜0和a＞1时，；④当a＜-1和0＜a＜1时，

师：这名同学考虑到不同的结果，把a的取值分为4类，其中a=0这类要不要？

生5：要，因为问题中没有说明a≠0.

师：对.在没有任何说明的情况下，字母a的取值要有连续性，保证分类不重、不漏，所以分出a=0这类是分类的需要，而当a=0时不能比大小是分类后讨论的结果.

说明：这个案例是笔者进行“分类讨论数学思想方法掌握情况的质量跟踪调查”之后，反馈到课堂上的问题之一，是数与代数知识的一类调查，蕴含分类思想、字母表示数的思想和特殊与一般的辨证关系，是数学中最抽象的问题之一.从调查的结果看，初一学生的正确率是29%，初二学生的正确率是42%，初三学生的正确率是81%.初三学生的数感、符号意识明显好于低年级学生.

反思：从本例调查和课堂讨论中可以发现：学生对分类讨论数学思想的感悟与其数学活动经验、认知基础、思维能力正相关，与教师的渗透、点拨、有意识引导密切相关.教学中要引导学生制定合理的分类标准，比较分类过程中的连续性，排除分类过程中的等价类和无效类.如本题中a=0就是无效类；抛物线的顶点不在自变量取值范围内时，顶点的纵坐标就不是最值，要排除；蚂蚁从正方体一个顶点沿着表面爬行到其对角顶点去，虽有6条路径，但属于等价类，最短路径只有一种.所以分类时的比较是很有必要的，通过比较，可促进学生形成反思意识，提升学生的抽象思维能力，培养思维的缜密性和批评性，优化学生的思维品质.

三、分类讨论数学思想要在点拨中领会

分类思想的上位思想是集合与对应思想（不重、不漏）、辨证思想、转换与化归思想.在解决数学问题的过程中，分类思想又往往与其他思想方法共存，且分类后的讨论是问题求解的过程，与其他知识的关联度大.因此需要分类讨论的问题一般有一定的综合性，需要教师在课堂交流中点拨.在一次专题复习课上，笔者选用了一道中考题进行分类思想的教学，课堂上引发了许多积极的思考和争论.

案例3：（2018年安徽）如图2，矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点P在矩形ABCD的内部，点E在边BC上，满足△PBE△DBC，若△APD是等腰三角形，则PE的长为___________.

师：请同学们仔细审题与思考，题目说点P在矩形内，图形中点P在对角线BD上，能否确定点P的位置？

师：很好！如果这一步不写，那么后面的推理就不符合逻辑了.根据已知长度，可以求出哪些线段的长度？又怎么求PE的长度？

生2：可得出BD=10.再根据相似三角形的性质知道，要先求出BP或PD的长度才行.

师：接下来，要用“△APD是等腰三角形”这个条件了，可哪两边是相等的腰呢？

生3：因为这个等腰三角形的腰和底边不明确，所以要分类，根据边长关系可分为两类：①AD=DP；②AP=DP.再分别求解.

师：分类时要考虑到各种情况，不重、不漏地分类.AP=AD也是一类，为什么没有呢？

生3：AP不可能等于AD.

师：为什么？怎么解释？

生4：根据垂线段最短得知：斜线段越来越长，所以AP＜AD.

生5：在Rt△ABD中，BD是斜边，最大，所以AP＜AD.（师单独画出Rt△ABD和AP）

生6：我觉得他们的解释不对.如图3，作AO⊥BD于点O，点P在OD上，根据勾股定理得.又OP＜OD，所以AP＜AD.

师：很好！能够想到勾股定理进行计算分析，大家听明白了吗？

生7：如果点P在OB上，怎么知道OP＜OD的？

至此，学生陷入了一片茫然，都不知道怎么解释AP＜AD，需要点拨.

师：既然点P可能在OD上，也可能在OB上，也就是说，点P的位置不确定，请大家思考，当我们遇到不确定的问题时，要怎么办？

生8：分类.

师：对.分类后怎么讨论OP和OD的大小呢？

师：同学们可在课外进一步思考“如何说明AP与AD的大小”.这里要注意的是，根据分类不重、不漏的原则，AP=AD也是一类，要写出来.因为这种情况不成立，所以只需要说明一下再否定它，不必证明.接下来请大家分别求出PE的长度.

生10：老师，当AP=PD时，AP是不是等于5啊？

师：这个问题还是交给大家讨论吧！

生11：矩形中，只有对角线互相平分才有AP=PD，所以AP=5.

生12：不对.可以作PF⊥AD于点F，点F是AD的中点，PF是△ABD的中位线，所以点P是BD的中点，AP=5，进一步可得

生13：还可以换一种解释：当AP=PD时，∠PAD=∠PDA，根据互余关系，可得∠PAB=∠PBA，再根据等角对等边得AP=BP=PD=5，所以PE=3或PE=1.2.

师：同学们能够大胆说出自己的不同思考，难能可贵！今后如果遇到不确定的问题时，要学会分类讨论，这是这个题目带给我们的经验.

反思：没想到这个中考题的教学牵涉出这么多知识点的复习，调动了全班学生数学探究的积极性，关注到分类诱因、分类方法的理解.虽然耗时较长，但促进了学生数学素养的培养.其中说明点P在BD上是前提，学生容易忽略这步推理，分类时不写AP=AD是易错点，思考AP＜AD是难点，课堂交流与点拨是突破难点的一种策略.事实上，点P是BD上的动点，AB=6，AD=8，又因为点P在矩形内，所以点P在以A为圆心、AB为半径和AD为半径的圆环之间，一定有AB＜AP＜AD.

大多数学生容易形式化地审题，如有学生说点P在OD上，遇到分类问题时嫌麻烦，而且分类后综合解决问题的能力也不足.因此在课堂交流中适当点拨和及时鼓励，可提升学生解答分类讨论题的兴趣，有效关联复习数学知识，强化认知结构.

四、教学感悟

从这几个案例中，可以看到分类思想的教学策略取决于教学材料，不能千篇一律，内容决定形式，且分类时要注意不重、不漏的原则.由于学生对数学思想方法的感悟有一个螺旋上升的过程，所以分类思想的教学也要遵循教学规律，教学生学会思考是目标.其中：

1.分类问题大多有分类诱因

案例1中直线位置与比值大小关系具有隐蔽性.案例2中字母a的值到底要分为几类具有抽象性.因此课堂教学中要借助多媒体工具，用探究、比较和点拨等策略，帮助学生逐步感悟和领会分类讨论的数学思想方法.其中针对学生情况设置有效的问题驱动是引导的关键，要防止思维定式.还要积极引导学生识别、归纳常见分类问题等.

2.分类讨论的过程要有一定的综合性

如案例3中AP与AD的大小比较、AP=PD时的值都是分类中必须考虑的逻辑推理和数学运算问题.教师要注意积极评价和鼓励，既提升兴趣，又解决问题，有利于学生对思想的领悟和数学素养的培养.

3.分类讨论问题的教学要有定期专题

一般一个学期安排两节复习课.专题复习课的材料可选中考题、教材题，也可选开放题、改编题，还可选学生的错例和生活趣题等.例题教学要循序渐进，难题会让学生望而生畏的.还要有梯度的课后训练，让学生用相同或相近的方法做事，是深刻理解数学思想方法，积累数学活动经验的有效途径.必须注意专题教学在于专，要专于分类，专于讨论.